stats counter

Τρίτη, 10 Ιουνίου 2014

Some information about the symbols of the Byzantine numbers


  'Από τήν Εἰσαγωγή  τῆς 3ης ἔκδοσης (eBook), σελ. 19, 20

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΝΟΤΗΤΩΝ
ΕΝΟΤΗΤΑ Α.

Εἰδικώτερα στὴν πρώτη ἑνότητα  (κεφ. 1-39, 101, 102)  διαπιστώνουμε τὰ ἑξῆς:

Ἡ ἑνότητα αὐτὴ περιλαμβάνει τὶς τέσσερεις ἀριθμητικὲς πράξεις καὶ τὶς δοκιμές τους. Τὰ σύμβολα ποὺ χρησιμοποιοῦνται γιὰ τοὺς ἀριθμοὺς εἶναι τὰ γράμματα τῆς ἑλληνικῆς ἀλφαβήτου, ἀλλὰ οἱ ὑπολογισμοὶ γίνονται μὲ τὴ νέα τότε δεκαδικὴ ἀραβικὴ ἀρίθμηση. Ὁ συγγραφέας δείχνει νὰ μὴν ἔχει προσαρμοστεῖ στὴ νέα μέθοδο καὶ χρησιμοποιεῖ γιὰ τὸ μηδὲν ἕνα σύμβολο, τὸ ὁποῖο μοιάζει μὲ ἀντεστραμμένο h (ч)[1]. Πρέπει ὅμως νὰ τονιστεῖ, ὅτι ἡ χρησιμοποίηση γραμμάτων καὶ ὄχι ἀριθμῶν δὲν ἐπιρρέαζε τὸ  ἀποτέλεσμα, ἀφοῦ ἐπρόκειτο γιὰ ἀριθμητικὸ σύστημα θέσης, δηλαδὴ ἡ θέση τοῦ γράμματος καθόριζε τὴν ἀριθμητικὴ ἀξία του[2]. Ἔτσι ὁ συγγραφέας ἐπιμένει στὴ διατήρηση τοῦ παλαιοῦ αὐτοῦ συμβολισμοῦ, ἐνῶ ἄλλοι ἀρχαιότεροι λόγιοι, ὅπως ὁ Μάξιμος Πλανούδης (1255-1305) στὸ Βυζάντιο καὶ ὁ Φιμπονάτσι (γεν. τὸ 1170), ὁ ὁποῖος εἰσήγαγε στὴ Δύση τὸν καινούργιο συμβολισμό, εἶχαν ἐξοικειωθεῖ μὲ τὸν νέο συμβολισμὸ καὶ τὸ ἀριθμητικὸ σύστημα θέσης[3]. Ὅμως, ἡ χρήση τοῦ νέου συμβολισμοῦ δὲν ἦταν γενικευμένη στὸ Βυζάντιο, καὶ μάλιστα γνωρίζουμε ὅτι δὲν τὰ χρησιμοποιοῦσαν διακεκριμένοι λόγιοι ὅπως ὁ Γεώργιος Παχυμέρης (σύγχρονος τοῦ Πλανούδη), ὁ Μοσχόπουλος, ὁ Νικ. Ραβδάς, ὁ Ἰωάννης Πεδιάσιμος, ὁ Βαρλαὰμ ὁ Καλαβρός, ὁ Ἰσαὰκ Ἀργυρός (14ος αἰ. μ.Χ.)[4]. Πιθανότατα ὁ συγγραφέας νὰ μὴν υἱοθέτησε τὰ νέα ψηφία λόγω τοῦ ὅτι ἡ χρήση τους δημιουργοῦσε διάφορα προβλήματα στὰ ἐμπορικὰ μαθηματικά[5].



[1] Μεταξὺ τοῦ 12ου καὶ τοῦ 13ου αἰ. μ.Χ. οἱ Βυζαντινοὶ συμπλήρωσαν τὰ ἐννέα ἑλληνικὰ ἀλφαβητικὰ ψηφία μὲ τὸ συγκεκριμένο σύμβολο, τὸ ὁποῖο ἐδήλωνε τὸ "οὐδέν". Βλ. Boyer- Merzbach, στ. Μαθ., σελ. 284.

[2] Vogel, Βυζ. ἐϖιστ., σελ. 815.


[3] Στὸ ἔργο του  Liber abacci, Φιμπονάτσι χρησιμοποιεῖ τὰ νέα ψηφία, καὶ Πλανούδης στὸ ἔργο του Ψηφοφορία κατ' Ἰνδούς. Βλ. Hunger, Βυζ. Λογ., τ. ΙΙΙ, σελ. 42, 49.


[4] K. Vogel, Ἐγγράμματος λογισμὸς καὶ Ἰνδικὰ ψηφία στὸ Βυζάντιο, Νεῦσις 5 (Φθιν.-Χειμ. 1996) 80.


[5] Τὸ 1299 μ.Χ. δῆμος τῆς Φλωρεντίας ἐξέδωσε διάταγμα, σύμφωνα μὲ τὸ ὁποῖο ἀπαγορευόταν γραφὴ τῶν ἀριθμῶν κατὰ στῆλες καὶ χρήση τῶν ἰνδικῶν ψηφίων, διότι τὸ 0 μποροῦσε εὔκολα νὰ ἀλλοιωθεῖ καὶ νὰ γίνει 6 9, κίνδυνο ποὺ δὲν διέτρεχαν μὲ τὰ ρωμαϊκὰ ψηφία. Ἐπίσης μία ὁδηγία ποὺ ἐκδόθηκε στὴν Ἀμβέρσα τὸ 1594 προειδοποιοῦσε τοὺς ἐμπόρους, ὅτι δὲν ἔπρεπε νὰ χρησιμοποιοῦν ἀριθμητικὰ ψηφία στὰ συμφωνητικὰ καὶ τὶς συναλλαγματικές. Βλ. V. d. Waerden, φύπνιση, σελ. 58.


Ἀπὸ τὸν Μαθηματικὸ σχολιασμὸ τῆς 3ης ἔκδοσης (eBook) τῶν κεφ. 1-5, σελ. 25 Ὁ συγγραφέας τοῦ χειρογράφου χρησιμοποιεῖ τὸ δεκαδικὸ ἀριθμητικὸ σύστημα θέσεως, τὸ ὁποῖο οἱ Βυζαντινοὶ παρέλαβαν ἀπὸ τοὺς Πέρσες ὄχι κατευθείαν, ἀλλὰ μὲ τὴν μεσολάβηση τῶν Λατίνων 100 χρόνια πρὶν ἀπὸ τὴν χρονολογία συγγραφῆς τοῦ κώδικα 65 (κεφ. 2). Ἡ μεσολάβηση αὐτὴ ὀφειλόταν στὶς ἐμπορικὲς συναλλαγὲς, οἱ ὁποῖες ὑπῆρχαν μεταξὺ τῶν δύο λαῶν. Στὴν "Πτολεμαϊκὴ Σύνταξη" τὸ μηδὲν ὀνομάζεται "οὐδὲν" καὶ συμβολίζεται μὲ 0. Στὸ χειρόγραφο γίνεται χρήση τῶν συμβόλων α, β, γ, δ, ε, ζ, ς, η, θ, γιὰ τοὺς ἀριθμοὺς ἀπὸ τὸ 1 ὡς τὸ 9, καὶ τὸ μηδὲν συμβολίζεται μὲ ἕνα γράμμα, τὸ ὁποῖο μοιάζει μὲ τὸ ἀνεστραμμένο h (ч).

Ἡ μία χιλιάδα συμβολίζεται μὲ ͵α, οἱ δύο χιλιάδες μὲ ͵β κ.τ.λ.

Οἱ 10.000 ὀνομάζονται μυριάδες, καὶ οἱ δὲ 100 μυριάδες (δηλαδὴ τὸ δικὸ μας ἑκατομμύριο) μιλλιούνι. Ἐπίσης τὰ σημερινὰ δισεκατομμύρια ὀνομάζονται λεγεῶνες.
 
Ἕνα τμῆμα τοῦ μεταγραμμένου κειμένου τῆς 3ης ἔκδοσης (eBook) σελ. 111

 Ἀεὶ τοῦτο πρῶτον γιγνώσκειν ὅτι αὕτη ἡ μέθοδός τε καὶ μεταχείρισις, δέκα ψήφων μόνον σημεῖα χρῆται καὶ οὐ πλείονα. Μετὰ τῶν δέκα τούτων σημείων δυνάμεθα, εἰ δυνατὸν ἐστὶ τὴν ἡμῶν φαντασία κατέχειν, τὴν δηλουμένην ποσότητα ἐξ ἀριθ(20)μήσεως εἰπεῖν καὶ τὴν ψάμμον αὐτὴν μέχρι τοσούτου προβαίνειν δίνονταν. Ταῦτα δὲ τὰ δέκα σημεῖα· εἰσί δε τὰ δέκα ταῦτα σημεῖα ὅμοια μᾶλλον δε ταῦτα, τὰ τὴν κοινὴν καὶ πολιτευομένην δηλοῦσαν ἡμῖν μέθοδον, μέχρι τῶν ἐννέα σημείων, τὸ δὲ δέκατον ἔχει σημεῖον, ὅπερ εἰώθαμεν γράφειν, ὅτε βουλόμεθα σημειώσασθαι οὐδέν, ἐστί δε τὸ παρὸν u ἳνα δε καὶ σαφέστερον ἡμῖν γένηται τὸ λεγόμενον, διαχαράττοσι ταῦτα καὶ ἐκτίθεμι ὡς ὁρᾷς· α,β,γ,δ,ε,ζ,η,θ,u καὶ τὸ μὲν πρῶτον, ἣγουν τὸ α, δηλοῖ ἕνα, ὡς καὶ ἐπὶ τῆς κοινῆς καὶ πολιτευομένης μεθόδου οὕτως λαμβάνεται. Τὸ δὲ β δηλοῖ δύο καὶ ἑξῆς ὁμοίως μέχρι τὸ θ, ἥτις δηλοῖ ἐν(25)νέα, τὸ δὲ ἐλάχιστον καὶ ἔσχατον πάντων σημεῖον, ὅπερ ἐστὶ τὸ παρὸν u, οὐδὲν δύναται δηλῶσαι, ἀλλ' ἐστὶ καὶ αὐτὸ μὲν δηλωτικὸν τῶν προτιθεμένων αὐτῶν σημείων, αὐτὸ δὲ καθαυτὸ τὸ u οὐ δύναται δηλῶσαι τι, τὸ γὰρ οὐδὲν οὐδενὸς ἐστὶ δηλωτικὸν δι' ὃ καὶ οὐδὲν γράφεται ἐν ᾧ γὰρ τόπῳ τὸ u εὑρίσκεται· οὐδενὸς ἐστὶ δηλωτικὸς καθὼς ἀκολούθως ἐροῦμεν σαφέστερον.
In the Introduction of my Book-Source, and in the Comments of the same Book  it is clear that the anonymous author uses for 0 (zero) the symbol ч. 
It is also clear that in the Transcription, and anywhere else in the Edition of the Codex 65 it was necessary to be done,  the symbol u was used instead of ч to declare 0, according to the opinion of 12 Professors of Mathematics and Byzantine Studies of the National and Kapodistrian University of Athens and of the Aristotelian University of Thessaloniki.

SOME ADDITIONAL DETAILS ON THE COMPOSITION OF THE BOOK-SOURCE ARE HERE

 

Source: Maria Chalkou, The Mathematical Content of the Codex Vindobonensis phil. gr. 65 of the 15th cent. (ff. 11r-126r), Introduction, Edition and Comments, Pub. Byzantine Research Center of the Aristotelian University of Thessaloniki, 2006, pp. 28, 29, 69-72.

  THE BOOK AS A SOURCE AT PRINCETON UNIVERSITY