stats counter

Δευτέρα, 9 Ιουνίου 2014

The Historical background on the definition of π



Από το βιβλίο-Πηγή: Μαρία Χάλκου, Το Μαθηματικό Περιεχόμενο του Codex vindobonensis phil. gr. 65 of the 15th cent., Εισαγωγή, Έκδοση και Σχόλια, εκδ. ΚΒΕ του Αριστοτέλειου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης, Θεσσαλονίκη 2006, σελ. 49, 50.

Στὰ πρῶτα κεφάλαια τῆς 11ης ἑνότητας τοῦ βιβλίου (κεφ. 167- 184) ὁ συγγραφέας ὁρίζει τὸν ἀριθμὸ π ὡς τὸν λόγο τῆς περιμέτρου δοθείσης περιφέρειας πρὸς τὴ διάμετρό της, καὶ θεωρεῖ ὅτι αὐτὸς ὁ λόγος ἰσοῦται πρὸς 22/7, ἢ 3 1/7. 
Αὐτὴ ἡ προσέγγιση ἦταν παραδεκτὴ ἀπὸ τὸν ἴδιο τὸν Ἀρχιμήδη, ἐφόσον
θὰ τὴ χρησιμοποιοῦσαν σὲ πρακτικὲς μετρήσεις[1]. Μποροῦμε λοιπὸν νὰ ὑποθέσουμε, ὅτι ὁ λόγος γιὰ τὸν ὁποῖο ἀκόμα καὶ σὲ θέματα θεωρητικοῦ περιεχομένου χρησιμοποιεῖται ἀπὸ τὸν συγγραφέα τοῦ Codex Vindobonensis 65 ἡ τιμὴ 3 1/7, εἶναι διότι αὐτὰ τὰ ζητήματα ἀποτελοῦσαν κατ' οὐσίαν προγύμνασμα τῶν μαθητῶν του γιὰ τὰ προβλήματα ποὺ ἀκολουθοῦσαν, καὶ τὰ ὁποῖα ἦταν πρακτικὰ προβλήματα τῆς καθημερινῆς ζωῆς τῶν Βυζαντινῶν.

Ἱστορικὰ οἱ προσεγγιστικὲς τιμὲς τοῦ π παρουσίαζαν μία ἐνδιαφέρουσα ποικιλία τόσο τὸν 15ο αἰ. ὅσο καὶ σὲ παλαιότερες ἐποχές. Ἐνδεικτικὰ ἀναφέρω, ὅτι τὸν 10ο αἰ. ὁ Ἰνδὸς Srïdhara ἔθετε π=√10[2], καὶ τὸν 13ο αἰ. ὁ Κινέζος Ch' in Kiu-shao ἔδινε γιὰ τὸ π τὴν τιμὴ 3 1/7[3]. Στὴν Αἴγυπτο δέ, ἀπὸ ἀρχαιότερους χρόνους καὶ μέχρι τὸ 1500 μ.Χ. χρησιμοποιοῦσαν τὴν τιμὴ 3,1605[4]. Ὁ Μιχαὴλ Ψελλὸς θεωροῦσε ὅτι τὸ π ἦταν ἴσο μὲ √8=2,8284271[5]. Μετὰ τὸν Ἀρχιμήδη, τὴν τιμὴ 3 1/7 υἱοθέτησαν ἀκόμα ὁ Ἥρωνας ὁ Ἀλεξανδρέας (περίπου 50 μ.Χ.)[6], καὶ στὴ Δύση ὁ Φιμπονάτσι[7], ὁ Dominicus Parisiensis (1378 μ.Χ.) ὁ Ἀλβέρτος ὁ Σάξων (1365 μ.Χ.), καὶ ὁ Νικόλαος τῆς Κούζας (1450 μ.Χ.)[8].


[1] Ἀπὸ τὸ ἔργο τοῦ Ἀρχιμήδη Κύκλου Μέτρησις (πρότ. 3) προκύπτουν γιὰ τὸ π οἱ ἑξῆς ἀνισοτικὲς σχέσεις: π<3 1/7, π>3 10/71. Βλ. W. R. Knorr, "Archimedes and the measure of the circle. A new interpratation, AHES, 15, N.2 (1976), Ἀρχιμήδους Ἄπαντα, ἐκδ. Ε. Σταμάτη, ΤΕΕ, Ἀθῆναι 1974, μέρος Β, τόμ. Ι, σελ. 454.
[2] Smith, Hist. Math., τόμ. I, σελ. 274.
[3] . π., σελ. 269.
[4] Lefort et al., Géom. fisc Byz., σελ. 13. Στὴν Αἴγυπτο ἡ γεωμετρία ἦταν ἐφαρμοσμένη ἀριθμητική. Δὲν ὑπῆρχε συστηματικὴ παραγωγὴ κανόνων, χωρὶς ὅμως αὐτὸ νὰ σημαίνει, ὅτι τοὺς ἀγνοοῦσαν. Βλ. V. d. Waerden, Ἀφύπνιση, σελ. 24. Στὸν Πάπυρο τοῦ Rhind δίδεται τιμὴ 3,16. Βλ. Heath, Hist. Gr. Math., τόμ. I, σελ. 124.
[5]  Heath, Hist. Gr. Math., τόμ. II, σελ. 545.
[6] <<Ὅτι δὲ πάσης διαμέτρου τριπλασιέβδομος ἐστὶν περίμετρος, δήλη ἐστὶν χξ, καὶ αὐτὴ οὖσα, ὡς τρὶς τὸν σι ἔχουσαι καὶ τὸ ἕβδομον αὐτοῦ>>. Δηλαδὴ Ἥρων εὕρισκε τὴν περίμετρο τῆς περιφέρειας πολλαπλασιάζοντας τὴν διάμετρο ἐπὶ τὸ 3 1/7. Ηeron., Stereom., τόμ. V, σελ. 20, 190. Vincent, Géom. Prat. Gr.,  τόμ. XIX, σελ. 216.
[7] Vogel, Fibonacci, σελ. 608.