Η λύση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης σύμφωνα με τον Codex Vindobonensis phil. Gr. 65 του 15ου αι.

THE THIRD EDITION (2014) AS AN EBOOK: Maria Chalkou, Ta Vyzantina Mathematika, The Codex Vindobonensis phil. gr. 65 of the 15th cent. vol. I (Arithmetike-Algevra-Logistike), Athens 2014, pp. 95, 96, 377, 378.

Μαθηματικός σχολιασμός τοῦ προβλήματος τοῦ κεφ. 141. (ρμα).

Νὰ εὑρεθοῦν δύο ἀριθμοί, οἱ ὁποῖοι νὰ διαφέρουν κατὰ 3, καὶ πολλαπλασιαζόμενοι νὰ δίνουν 1.

Ἡ διατύπωση τοῦ συγγραφέα εἶναι ἡ ἑξῆς: "ὁ μὲν ἔστω ἔλαττο, ὁ δὲ ἐχέτω 3 πλείω τοῦ ἐλάττονος".

Ὁ συγγραφέας ἀναφέρεται στὴν ἐπίλυση τῆς ἐξίσωσης: χ(χ+3)= 1, ἢ χ²+3χ= 1, τὴν ὁποία καὶ ἐπιλύει μὲ τὴν ἐφαρμογὴ τοῦ κανόνα τῶν πραγμάτων.

Σύμφωνα μὲ αὐτὸν τὸν κανόνα:

"ὅταν τὰ τζένσα καὶ τὰ πράγματα εἰσὶ ὅμοια τοῦ ἀριθμοῦ οὗ ζητεῖς, νὰ ποιήσης τὰ πράγματα τζένσα, τουτέστι νὰ μερίσης τὰ πράγματα μετὰ τῶν τζένσων, καὶ τὰ ἐξερχόμενα πάλιν εἰσὶ πράγματα. Ἔπειτα νὰ διαμερίσης τὸν ἐξελθόντα διαμερισμὸν τῶν πραγμάτων εἰς δύο, καὶ νὰ πολλαπλασιάσης τὰ ἡμίση πράγματα εἰς ἑαυτά, καὶ νὰ ἑνώσης τὸν γεγονότα πολλαπλασιασμὸν τῶν ἡμίσεων πραγμάτων μετὰ τοῦ ἀριθμοῦ οὗ ζητεῖς. Καὶ ὅση ἐστὶ ἡ ρίζα ὁμοῦ τοῦ ὅλου σώματος τῶν τοιούτων, ἐλάττω τῶν ἡμίσεων πραγμάτων, ἐστὶ ὁ ζητούμενος ἀριθμός ".

Ἀκολουθώντας λοιπὸν πιστὰ τὸν "κανόνα τῶν πραγμάτων", οἱ πράξεις μας θὰ εἶναι οἱ ἑξῆς:

3/1, 3/2, 9/4+1= 13/4, καὶ ἡ ρίζα τοῦ 13/4 ἐλαττωμένη κατὰ 3/2 μᾶς δίνει τὸν ζητούμενο ἀριθμό.

Σήμερα χρησιμοποιώντας τὸν τύπο εὕρεσης λύσεων γιὰ τὴν δευτεροβάθμια ἐξίσωση θὰ καταλήγαμε στὶς ἑξῆς δύο ρίζες:

χ₁= (1/2)(-3+√13), καὶ χ₂= (1/2)(-3-√13), οἱ ὁποῖες εἶναι ἀκριβῶς ἴδιες μὲ ἐκεῖνες τοῦ Codex Vindobonensis phil. Gr. 65.  Διότι μὲ τὴν ἐφαρμογὴ τῆς ἐπιμεριστικῆς ἰδιότητας προκύπτει:

χ₁= -3/2+√13/2, καὶ χ₂= -3/2-√13/2.

Παρατηροῦμε ὅτι ὁ συγγραφέας δὲν ἀναφέρεται καθόλου στὴν ἀρνητικὴ ρίζα χ₂, ἀλλὰ λαμβάνει ὑπ' ὅψιν του μόνο τὴν θετικὴ χ₁.

Ἡ παρουσίαση τοῦ προβλήματος στὸ  χειρόγραφο

 (15) ρμα'   Περὶ τοῦ πῶς ἐστὶ εἰδέναι τίνες ἂν δύο ἀριθμοὶ, ἀλλήλων πολλαπλασιαζόμενοι, πολλαπλασιάσωσιν α ἀκέραιον, καὶ ὁ μὲν ἔστω ἔλαττο, ὁ δὲ ἐχέτω γ πλείω τοῦ ἐλάττονος.

Ἔστω ὅτι ζητεῖς εἰδέναι τίνες ἂν δύο ἀριθμοὶ ἀλλήλων πολλαπλασιαζόμενοι, πολλαπλασιᾶσαι ἔχωσιν α ἀκέραιον, οἱ δὲ δύο ἀριθμοὶ οἱ πολλαπλασιάζοντες τὸ α, ὁ μὲν ἔστω ἔλαττο, ὁ δὲ ἐχέτω γ πλείω τοῦ ἐλάττονος. Ἔχεις δὲ καὶ τοῦτο εἰδέναι διὰ τῆς μεταχειρίσεως τοῦ πράγματος.

Λεγέσθω γὰρ ὁ μὲν εἷς ἀριθμὸς, πρᾶγμα α, ὁ δὲ ἕτερος μείζων ἀριθμὸς λεγέσθω καὶ αὐτὸς πρᾶγμα α ὅπερ ἔχει γ πλείω τοῦ ἑτέρου ἐλάττονος πράγματος. Πολλαπλασίασόν δε τὸ α πρᾶγμα μετὰ τοῦ ἑνὸς πράγματος τοῦ ἔχοντος καὶ γ πλείω. Τὸ α οὖν πρᾶγμα μετὰ τοῦ ἑνὸς πράγματος πολλα(20)πλασιαζόμενον, α ἅπαξ α πολλαπλασιάζει τζένσον α, ὡς καὶ ἐπὶ τοῦ πρώτου ζητήματος οὕτως εἴπομεν, ἀπομένοσίν δε καὶ γ πράγματα. Κράτει οὖν παρὰ σεαυτῷ τζένσον α καὶ γ πράγματα.

Ζητεῖς δὲ πολλαπλασιᾶσαι δι’ αὐτῶν α ἀκέραιον ἀριθμόν. Ὁ δὲ κανὼν τῶν πραγμάτων λέγει, ὡς ὅταν τὰ τζένσα καὶ τὰ πράγματα εἰσὶ ὅμοια τοῦ ἀριθμοῦ οὗ ζητεῖς, νὰ ποιήσης τὰ πράγματα τζένσα, τουτέστι νὰ μερίσης τὰ πράγματα μετὰ τῶν τζένσων, καὶ τὰ ἐξερχόμενα πάλιν εἰσὶ πράγματα. Ἔπειτα νὰ διαμερίσης τὸν ἐξελθόντα διαμερισμὸν τῶν πραγμάτων εἰς δύο, καὶ νὰ πολλαπλασιάσης τὰ ἡμίση πράγματα εἰς ἑαυτά, καὶ νὰ ἑνώσης τὸν γεγονότα πολλαπλασιασμὸν τῶν ἡμίσεων πραγμάτων μετὰ τοῦ ἀριθμοῦ οὗ ζητεῖς. Καὶ ὅση ἐστὶ ἡ ρίζα ὁμοῦ τοῦ (25) ὅλου σώματος τῶν τοιούτων, ἐλάττω τῶν ἡμίσεων πραγμάτων, ἐστὶ ὁ ζητούμενος ἀριθμός. Ὅδε λέγει ὁ κανὼν τοιοῦτον ἐστὶ τζένσον α καὶ γ πράγματα, εἰσὶ ὅμοια τοῦ ἀριθμοῦ οὗ νῦν ζητεῖς πολλαπλασιᾶσαι, α ἀκέραιον.

Κράτει οὖν ἰδίως τὸ α τζένσον. Μέρισόν δε τὰ γ πράγματα διὰ τοῦ ἑνὸς τζένσου καὶ γίνεται ὁ τούτων διαμερισμὸς πάλιν γ πράγματα ὡς τὸ πρότερον. Μέρισον ταῦτα εἰς δύο καὶ γίνεται τὸ ἥμισυ τούτων, πρᾶγμα α α/β. Πολλαπλασίασον τὸ α α/β πρᾶγμα εἰς ἐαυτό· α α/β-κις α α/β γίνονται β α/δ. Ἕνωσον ταῦτα μετὰ τοῦ α ἀριθμοῦ οὗ ζητεῖς πολλαπλασιᾶσαι οἱ δύο ἀριθμοὶ α ἀκέραιον, καὶ γίνονται ὁμοῦ γ α/δ. Ἡ δὲ ρίζα τῶν γ α/δ, ἐλάττω τοῦ ἡμίσεως τῶν γ πραγμάτων ὅπερ ἐστὶ α α/β, ἐστὶ ὁ εἷς ἔλαττος ἀριθμός. Ὁ δὲ ἕτερος μείζων, ἐστὶ τοσοῦτος, (30) ἔχει δὲ ἔτι καὶ γ πλείω. Δι’ αὐτῶν γὰρ τῶν δύο ἀριθμῶν πολλαπλασιάζεται α ἀκέραιον.

Γίνεταί δε τοῦτο δι’ ὁμοίας μεταχειρίσεως τοῦ αὐτοῦ κανόνος προχειρεστέρως. Λαβὲ τὰ ἡμίση τῶν γ ὧν εἴπομεν ὅτι ἔχει ὁ μείζων ἀριθμὸς πλείω, ἅπερ ἐστὶ α α/β. Πολλαπλασίασόν δε τὸ α α/β εἰς ἑαυτό· α α/β-κις οὖν α α/β ἐστὶ β α/δ. Πρόσθες καὶ ὅπερ ζητεῖς ἵνα οἱ δύο ἀριθμοὶ πολλαπλασιάσωσιν α ἀκέραιον, καὶ γίνονται ὁμοῦ γ α/δ. Ἡ δὲ ρίζα τῶν γ α/δ, ἐλάττω α α/β ὅπερ ἐστὶ τὸ ἥμισυ τῶν γ, ἐστὶ ὁ εἷς ἔλαττος ἀριθμός. Ὁ δὲ μείζων ἐστὶ ὁ αὐτὸς καὶ ἔτι γ πλείω. Δι’ αὐτῶν γὰρ τῶν δύο ἀριθμῶν πολλαπλασιάζεται α ἀκέραιον.

Ἡ δὲ ἀπόδειξις ἐστὶ αὐτή. Ἡ ρίζα τῶν γ α/δ ἐστὶ α η/ι βραχύ τι πλείω· α γὰρ καὶ η/ι πολλαπλασιάζοσιν γ καὶ βδ/αuu ἅπερ ἐστὶ γ α/δ ἔγγιστα. Ἄφελε οὖν α α/β ἐκ τῆς ρίζης τῶν γ καὶ α/δ (35) ἥτις ἐστὶ ὡς εἴπομεν α η/ι βραχύ τι πλείω καὶ ἀπομένοσιν γ/ι βραχύ τι πλείω. Ἐστὶ δὲ ὁ μὲν ἔλαττος ἀριθμὸς γ/ι βραχύ τι πλείω, ὁ δὲ μείζων γ καὶ γ/ι βραχύ τι πλείω. Δι’ αὐτῶν γὰρ πολλαπλασιάζεται α ἀκέραιον ὡς ἐζήτησας. Καὶ γὰρ τὰ γ καὶ γ/ι γίνονται δέκατα λγ. Πολλαπλασίασον τὰ λγ δέκατα τοῦ μείζονος ἀριθμοῦ, μετὰ τῶν γ/ι (78v)(1) τοῦ ἐλάττονος· γ-ὶς οὖν λγ γίνονται Ϟθ. Πρόσθες α διὰ τὸ ἔχειν τὰ γ/ι καὶ γ γ/ι βραχύ τι πλείω ὅπερ οὐ προσέθηκας καὶ γίνονται ὁμοῦ ρ. Πολλαπλασίασόν δε τὰ κάτωθεν ι μετὰ τῶν κάτωθεν ι· ι-κις οὖν ι γίνονται ρ.

Μέρισον τὰ ρ μετὰ τῶν ρ καὶ γίνεται ὁ τούτων διαμερισμὸς α ἀκέραιον. Καὶ ἰδοὺ γ/ι βραχύ τι πλείω, μετὰ τῶν γ γ/ι βραχύ τι πλείω πολλαπλασιαζόμενα, πολλαπλασιάζοσιν α ἀκέραιον ὡς ἐζήτησας. Ἔχει δὲ καὶ ὁ μείζων ἀριθμὸς γ πλείω τοῦ ἐλάττονος ὡς ἐζήτησας.

Ὡσαύτως δὲ καὶ πᾶν ἕτερον τούτων ὅμοιον ζήτημαν διὰ τῆς ὁμοίας ταύτης προχείρου μεταχειρίσεως, ἔχεις εἰδέναι καλῶς τὸ ζητούμενον.