Ένα ιστορικά δημοφιλές γεωμετρικό πρόβλημα εμφανίζεται για πρώτη φορά σε ελληνικό χειρόγραφο

•  Ὁ  Codex Vindobonensis phil. Gr. 65 (ff. 11r-126r) εἶναι ἕνα ὀγκῶδες χειρόγραφο 250 περίπου πυκνογραμμένων σελίδων μεγέθους Α3, ἀνωνύμου συγγραφέα, τὸ περιεχόμενο τοῦ ὁποίου διδασκόταν πρίν τήν Ἅλωση τῆς Κωνσταντινούπολης σὲ εὐρὺ κοινό προερχόμενο ἀπὸ διάφορα κοινωνικὰ στρώματα, ὅπως συνηθιζόταν ἐκείνη τὴν ἐποχή.

•  Ἡ σημασία τοῦ χειρογράφου εἶναι αξιόλογη, ἀφοῦ, ὅπως προέκυψε ἀπὸ τὴν διενεργηθεῖσα ἐπιστημονικὴ ἔρευνα πρόκειται κατ' οὐσίαν γιὰ τὴν Μαθηματικὴ Ἐγκυκλοπαίδεια τῶν Βυζαντινῶν, καὶ μάλιστα τὴν πρώτη Μαθηματικὴ Ἐγκυκλοπαίδεια.

•  Ἐπιπλέον ἕνα δεύτερο στοιχεῖο ποὺ ἐνισχύει τὴν ἄποψη ὅτι πρόκειται γιὰ ἕνα σημαντικὸ ἐπιστημονικὸ ἔργο τῆς ἐποχῆς του εἶναι ὅτι ἀπὸ τὰ μέχρι στιγμῆς ἐπιστημονικὰ εὑρήματα προκύπτει πὼς εἶναι τὸ πρῶτο ἑλληνικὸ χειρόγραφο στὸ ὁποῖο ἐμφανίζεται τὸ πρόβλημα (κεφ. 177 (ροζ)) τῆς  κατασκευῆς τετραγώνου ἐγγεγραμμένου σὲ ἰσόπλευρο τρίγωνο, ὥστε ἡ μία του πλευρὰ νὰ ἐφάπτεται μὲ τὴν πλευρὰ τοῦ ἰσοπλεύρου τριγώνου. Βέβαια στὸ χειρόγραφο δὲν καταγράφεται τὸ θεωρητικὸ μέρος τῆς κατασκευῆς, ἀλλὰ ζητεῖται μόνο νὰ ὑπολογισθεῖ ἡ πλευρὰ τοῦ τετραγώνου συναρτήσει τῆς πλευρᾶς τοῦ ἰσοπλεύρου τριγώνου.

Ὁ Μαθηματικὸς Σχολιασμὸς

κεφ. 177. (ροζ). Εὕρεση τῆς πλευρᾶς τοῦ τετραγώνου ὅταν δίδεται ἡ πλευρὰ τοῦ ἰσοπλεύρου τριγώνου τοῦ σχήματος καὶ εἶναι ἴση με 10.

Ἡ σειρὰ τῶν πράξεων οἱ ὁποῖες παρουσιάζονται στὸ χειρόγραφο, εἶναι ἡ ἑξῆς:

10.10= 100, 100.3/4= 75, 75.16= 1200, 75.12= 900, √1200= 34 12/19, √900= 30, 34 12/19-30= 4 12/19= χ, (ὅπου χ εἶναι ἡ πλευρὰ τοῦ τετραγώνου).

Σήμερα θὰ ἀντιμετωπίζαμε τὸ ζήτημα ὡς ἑξῆς:

 
                       

Θὰ θεωρούσαμε τὴν πλευρὰ τοῦ τετραγώνου ἴση μὲ χ, καὶ ἐπειδὴ τὰ ὀρθογώνια τρίγωνα ΓΖΔ καὶ ΒΗΕ εἶναι ἴσα (ΖΔ=ΗΕ=χ, καὶ γωνία Γ=γωνία Β=60°), τότε ΓΔ=ΕΒ, ἄρα ΔΙ=ΙΕ=χ/2, ὅπου Ι τὸ ἴχνος τῆς ΑΙ ἐπὶ τῆς ΒΓ (ΑΙ ὕψος, διάμεσος καὶ διχοτόμος τοῦ ἰσοπλεύρου τριγώνου ΑΒΓ). Ἀλλὰ τὰ τρίγωνα ΓΖΔ καὶ ΓΑΙ εἶναι ὅμοια, ὁπότε ἰσχύει ἡ ἀναλογία

ΔΖ/ΑΙ=ΓΔ/ΓΙ, δηλαδὴ

χ/(10√3/2)= (5-χ/2)/5, ἀπὸ τὴν ὁποία προκύπτει

χ= 2√3(10-5√3).

Καταλαβαίνουμε λοιπὸν ὅτι στὸ χειρόγραφο ἡ διαφορὰ

√(75.16)- √(75.12) τίθεται ἴση μὲ χ, ἐπειδὴ αὐτὴ ἡ διαφορὰ εἶναι ἴση μὲ

√3. (√25.16)- √3²√(25.4)  = 2 √3.10- 2√3² √25=  2 √3(10- 5√3).

Ἡ ἐπίλυση τοῦ ἀνωτέρω προβλήματος ἔχει τὶς ρίζες της στὴν ἀρχαιότητα. Ὁ Ἀλ Χουαρίζμι τὸ ἀναφέρει σὲ ἐργασία του, ἀλλὰ ἡ προέλευσή του ἀνάγεται στὸν Ἥρωνα τὸν Ἀλεξανδρέα[1]. Τὸ γενικότερον δὲ πρόβλημα  τῆς ἐγγραφῆς τετραγώνου σὲ δοθὲν τρίγωνο ΑΒΓ καὶ τοῦ ὑπολογισμοῦ τῆς πλευρᾶς του, εὑρίσκεται στὸ βιβλίο τοῦ 1952: Ἀσκήσεις Γεωμετρίας (Ἰησουϊτῶν)[2]. Ἐπίσης μία χρήσιμη μέθοδος διδασκαλίας τῆς κατασκευῆς αὐτῆς ἐκτίθεται λεπτομερῶς στὸ βιβλίο τοῦ G. Polya, Πῶς νὰ τὸ λύσω, στὶς σελίδες 51- 53.

 Στὸ χειρόγραφό μας βέβαια, ὁ συγγραφέας δὲν θέτει θέμα κατασκευῆς ἐγγεγραμμένου τετραγώνου σὲ δοθὲν τρίγωνο, ἀλλὰ μόνον ὑπολογισμοῦ τῆς πλευρᾶς τοῦ ἤδη ἐγγεγραμμένου τετραγώνου.

Ἡ Μεταγραφή

ροζ' Περὶ τοῦ πῶς ἐστὶ ἐντὸς τριγώνου σχήματος τεθῆναι τετράγωνον καὶ εἰδέναι πόσων σπιθαμῶν ἐστὶ ἡ τοῦ τετραγώνου πλευρά.

Ἔστω τρίγωνον σχῆμα ἰσόπλευρον ὅπερ ἐστὶ ἑκάστη τούτου πλευρὰ σπιθαμῶν ι, τεθημένου δὲ ἐντός του τετράγωνον σχῆμα ἰσόπλευρον κατὰ τὸ ἐγχωροῦν μεῖζον μέγεθος, ζητεῖς εἰδέναι ἐκ τῆς τοῦ τριγώνου πλευρᾶς καὶ ἑκάστη πλευρὰ τοῦ τετραγώνου πόσων σπιθαμῶν ἐστί. Ἔχεις οὖν τοῦτο εἰδέναι οὕτως: Πολλαπλασίασον καὶ ἐνταῦτα εἰς ἑαυτὴ τὴν μίαν πλευρὰν τοῦ τριγώνου σχήματος· ι-κις οὖν ι γίνονται ρ. Λαβὲ δὲ καὶ ἐνταῦτα γ/δ τῶν ρ ἅπερ ἐστὶ οε. Πολλαπλασίασον τὰ οε (20) μετὰ τῶν ις· ις-κις οὖν οε γίνονται ͵ασ. Πολλαπλασίασον τὰ οε καὶ μετὰ τῶν ιβ· ιβ-κις οὖν οε γίνονται Ϡ. Ζήτει τὴν ρίζαν τῶν ͵ασ· λδ καὶ ιβ/ιθ. Ζήτει δὲ καὶ τὴν ρίζαν τῶν Ϡ ἥτις ἐστὶ λ. Ἄφελε τὰ λ ἐκ τῶν λδ καὶ ιβ/ιθ καὶ ἀπομένοσιν δ καὶ ιβ/ιθ. Ἐστὶ δὲ ἑκάστη πλευρὰ τοῦ τετραγώνου σπιθαμῶν δ καὶ ιβ/ιθ μιᾶς σπιθαμῆς.

 Ὡσαύτως δὲ καὶ πᾶν ἕτερον τούτου ὅμοιον ζήτημαν τὸ ἐντὸς τριγώνου τεθήμενον σχῆμα τετράγωνον, πολλαπλασίασον εἰς ἑαυτὴ τὴν μίαν πλευρὰν τοῦ τριγώνου, λαβὲ δὲ καὶ γ/δ τοῦ ἐκ ταύτης γεγονότος πολλαπλασιασμοῦ, καὶ ὅσα ἐστὶ τὰ γ/δ τοῦ γεγονότος πολλαπλασιασμοῦ, πολλαπλασίασον ταῦτα, πρῶτον μὲν μετὰ τῶν ις, εἶθ'οὕτως μετὰ τῶν ιβ. (25) Ζήτει δὲ διηρημένως ἑκάστου ρίζαν τῶν δύο τούτων γεγονότων πολλαπλασιασμῶν. Ἄφελέ δε τὴν ἐλάττονα ρίζαν ἐκ τῆς μείζονος, καὶ ὅσον ἐστὶ τὸ ἐναπομένον μέρος τῆς μείζονος ρίζης, τοσούτων σπιθαμῶν ἐστὶ καὶ ἑκάστη πλευρὰ τοῦ ζητουμένου τετραγωνοῦ, τοῦ ἐντὸς τοῦ τριγωνοῦ τεθημένου σχήματος.

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΗ ΑΝΑΦΟΡΑ:

THE THIRD EDITION (2014) AS AN EBOOK: Maria Chalkou, Ta Vyzantina Mathematika, The Codex Vindobonensis phil. gr. 65 of the 15th cent. vol. II (Geometria-Geodaisia), Athens 2014, pp. 16, 17, 59, 60

SOURCE: ANŌNYMOY ΑRΙΤΗΜĒΤΙΚĒ, ED. MARIA CHALKOU, [THE MATHEMATICAL CONTENT OF THE CODEX VINDOBONENSIS PHIL. GR. 65 OF THE 15TH CENT. INTRODUCTION, EDITION AND COMMENTS], PUB. BYZANTINE RESEARCH CENTER, ARISTOTELIAN UNIVERSITY OF THESSALONIKI, JUNE 2006.

Λεπτομέρειες σχετικά με το βιβλίο-πηγή

---

[1] Carl B. Boyer, A History of Mathematics, Princeton UP, 1968/1985, σελ. 257.

[2] Ἀσκήσεις Γεωμετρίας (Ἰησουϊτῶν), μτφρ. Δ. Γκιόκα, τόμ. ΙΙΙ, ἐκδ. Α. Καραβία, ⁵Ἀθῆναι 1952, σελίδα 720.