Σχετικά με τη χρήση των αρνητικών αριθμών στο Βυζάντιο

Ἡ χρήση τῶν ἀρνητικῶν ἀριθμῶν στὸ Βυζάντιο

Στὴν ἐνάτη ἑνότητα τοῦ Codex Vindobonensis phil. gr. 65 (κεφ. 135-140) ἔχουμε μεθοδολογίες ἐπίλυσης ἐξισώσεων μέχρι καὶ 4ου βαθμοῦ, γιὰ τὶς ὁποῖες ὁ συγγραφέας δίνει κανόνες, ποὺ ἀφοροῦν σὲ κάθε μορφῆς ἐξίσωση ξεχωριστά. Μάλιστα  δὲν ἀρκεῖται σὲ μία ὁμαδοποίηση τῶν ἐξισώσεων βάσει τοῦ βαθμοῦ τους, ἀλλὰ χωρίζει ἐπιπλέον σὲ ὑποομάδες τὶς ἐξισώσεις τοῦ ἰδίου βαθμοῦ,  ἀναλόγως τῆς μορφῆς τους, καὶ δίνει διαφορετικὸν κανόνα ἐξεύρεσης λύσης γιὰ κάθε ὑποομάδα.

Εἰδικὰ γιὰ τὶς πρωτοβάθμιες καὶ δευτεροβάθμιες ἐξισώσεις, οἱ ἐπι μέρους κανόνες δὲν εἶναι τίποτε ἄλλο παρὰ ἡ ἐφαρμογὴ τοῦ τύπου τῶν λύσεων, τὸν ὁποῖο χρησιμοποιοῦμε μέχρι σήμερα. Σημειωτέον ὅτι ὁ συγγραφέας δὲν χρησιμοποιεῖ τὴν ἀρνητικὴ ρίζα, γεγονὸς συνηθισμένο τὴν ἐποχὴ ἐκείνη. Στὰ Βυζαντινὰ μαθηματικὰ δὲν ἦταν ἀναγκαῖο νὰ εὕρεθοῦν οἱ ἀρνητικὲς λύσεις μιᾶς ἐξίσωσης, διότι ἁπλούστατα διατύπωναν ἐξισώσεις μὲ τέτοιον τρόπο, ὥστε αὐτὲς νὰ ἔχουν μόνον θετικὲς λύσεις. Τὸν 12ο αἰ. ἕνας ἀπὸ ἐκείνους, οἱ ὁποῖοι ἔλυναν τὶς δευτεροβάθμιες ἐξισώσεις λαμβάνοντας μόνο τὴ θετικὴ ρίζα ἦταν καὶ ὁ Bhāskara. Παρ' ὅλα αὐτὰ γνώριζαν, πῶς νὰ χειρίζονται τοὺς ἀρνητικοὺς ἀριθμούς· π.χ. σὲ ἕνα πρόβλημα τοῦ ἔργου του Lilāvatī (μετάφρ. Colebrooke, § 166),  ὁ Bhāskara παρατηρεῖ ὅτι μία ἀρνητικὴ τιμὴ γιὰ ἕνα τμῆμα εὐθείας δείχνει τὴν ἀντίθετη διεύθυνση. Γνωρίζουμε ἀκόμα, ὅτι οὔτε οἱ Ἄραβες χρησιμοποιοῦσαν ἀρνητικοὺς ἀριθμοὺς. Οἱ Λατίνοι ὅμως σὲ κάποιες ἐργασίες τους εἶχαν συμπεριλάβει πράξεις μὲ ἀρνητικοὺς ἀριθμούς. ^[1]

Ἡ μεθοδολογία τῆς λύσεως τῶν ἐξισώσεων πρώτου καὶ δευτέρου βαθμοῦ ἦταν γνωστὴ ἀπὸ τὴν ἀρχαιότητα^[2]. Ὁ Διόφαντος μάλιστα τὶς ἐχώριζε σὲ κατηγορίες ὅμοιες μὲ αὐτὲς τοῦ συγγραφέα, καὶ χρησιμοποιοῦσε μόνο τὴ θετικὴ ρίζα^[3] χωρὶς ὅμως αὐτὸ νὰ σημαίνει ὅτι ἀγνοοῦσε τὴν ὕπαρξη τῆς ἀρνητικῆς.

---

[1] Βλ. Sesiano, Neg. Sol., σελ. 32. Struik, Hist. Math.,  σελ. 85.

[2] Smith, Hist. Math., τόμ. II, σελ. 382.

[3] Διοφ. Ἀριθμ., π.χ. πρόβλ. 6, σελ. 59. Ὁ Διόφαντος ἀπαιτοῦσε οἱ ρίζες νὰ εἶναι ὄχι μόνο θετικὲς ἀλλὰ καὶ ρητές. Βλ. Διοφ. Ἀριθμ., σελ. 172. Κ. Vogel, "Diophantus", σελ. 114. Heath, Hist. Gr. Math., τόμ. ΙΙ, σελ. 463-4.

Αν χρειάζεσθε βιβλιογραφική αναφορά:

THE THIRD EDITION (2014) AS AN EBOOK: Maria Chalkou, Ta Vyzantina Mathematika, The Codex Vindobonensis phil. gr. 65 of the 15th cent. vol. I (Arithmetike-Algevra-Logistike), Athens 2014, p. 86.

Πηγή: Ἀνωνύμου Ἀριθμητική , ἔκδ. Μαρία Χάλκου, [Τὸ Μαθηματικὸ Περιεχόμενο τοῦ Codex Vindobonensis phil . Gr . 65 τοῦ 15ου αἰ. Εἰσαγωγή, Ἔκδοση καὶΣχόλια],Κέντρο Βυζαντινῶν Ἐρευνῶν τοῦ Ἀριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης,Θεσσαλονίκη 2006.

Το βιβλίο-Πηγή στο Πανεπιστήμιο Notre Dame