A mathematical method to solve debt problems in the Byzantine Empire

κεφ. 154. (ρνδ). Ὁ συγγραφέας τοῦ χειρόγραφου ἀναφέρεται σὲ κάποιον ὁ ὁποῖος δανείζεται 100 Φ (Φ χρυσὸ νόμισμα) καὶ μετὰ ἀπὸ 2 χρόνια πληρώνει εἰς τὸν δανειστὴν του, τόκο καὶ κεφάλαιο μαζί, 200 Φ. Θέτει τὸ ἐρώτημα, πόσο τόκο πληρώνει τὸν ἕνα χρόνο;

Σήμερα, θὰ ὑπολογίζαμε τὸν τόκο ἑνὸς χρόνου μὲ τὸν τύπο:

100.ε.1/100= ε, ὅπου μὲ ε συμβολίζουμε τὸ ἐπιτόκιο. Ὁπότε τὸ κεφάλαιο καὶ ὁ τόκος τοῦ πρώτου χρόνου εἶναι 100+ε, καὶ συνεπῶς ὁ τόκος τοῦ δευτέρου χρόνου θὰ εἶναι:

(100+ε).ε.1/100= ε+ε²/100, καὶ τότε θὰ ἰσχύει:

ε+ε²/100+100+ε= 200, δηλαδὴ

 ε²+200ε-10000= 0, καὶ

ε= -100+100√2, τὸ ὁποῖο εἶναι κατὰ προσέγγιση ἴσο μὲ 41,2.

Ὁ συγγραφέας τοῦ χειρογράφου γνωρίζοντας προφανῶς τὸ ἀποτέλεσμα, ξεκινάει μὲ τὴν ἀνορθόδοξη γιὰ ἐμᾶς μέθοδο τὴν ὁποία ὅμως συνηθίζει, δηλαδὴ ξεκινᾶ μὲ τὴν ὑπόθεση ὅτι ὁ τόκος τοῦ πρώτου χρόνου παίρνει τιμὲς μεταξὺ τῶν 41Φ καὶ 42Φ, καὶ θεωρεῖ ὅτι εἶναι ἴσος μὲ 41+χ. Θέτει κατόπιν τὸ ἐρώτημα: Ἐὰν τὰ 100 Φ ἔχουν κέρδος 41+χ, τὰ 41+χ πόσα κερδίζουν; Ἀπαντᾶ ὅτι κερδίζουν

(41+χ)(41+χ)/100= 16 +81/100+χ.41/50+χ²/100.

Ἐπίσης 2(41+χ)= 82+2χ, ὁπότε

82+2χ+16+81/100+χ.41/50+χ².1/100= 100, ἀπ' ὅπου, χρησιμοποιώντας τοὺς γνωστοὺς κανόνες βρίσκει προσεγγιστικὰ τὴν τιμὴ τοῦ χ ἴση μὲ 1/2.

Ἀναφέρεται καὶ σὲ ἄλλα προβλήματα τοῦ ἰδίου τύπου, τὰ ὁποῖα ἀντιμετωπίζει μὲ τὴν ἴδια μέθοδο.

SOURCE: MARIA CHALKOU, THE MATHEMATICAL CONTENT OF THE CODEX VINDOBONENSIS PHIL. GR. 65 OF THE 15TH CENT. INTRODUCTION, EDITION AND COMMENTS, PUB. BYZANTINE RESEARCH CENTER, ARISTOTELEAN UNIVERSITY OF THESSALONIKI, JUNE 2006.

THE THIRD EDITION (2014) AS AN EBOOK with title: Ta Vyzantina Mathematika, The Codex Vindobonensis phil. gr. 65 of the 15th cent. vol. I (Arithmetike-Algevra-Logistike), Athens 2014 pp.59

The second edition (2007) at Harvard University