A funny method, or an approach of Indeterminate Analysis according to the Codex Vindobonensis phil. gr. 65 of the 15th century?

 Book- Source: Μαρία Χάλκου, Το Μαθηματικό Περιεχόμενο του Codex Vindobonensis phil. gr. 65 of the 15th cent. Introduction, Edition and Comments, εκδ. Κέντρου Βυζαντινών Ερευνών του Αριστοτέλειου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης, σελ.  47, 48, 390, 391, 392.

Από την Εισαγωγή του βιβλίου

Σημαντικὸ εἶναι τὸ πρόβλημα ἀπροσδιόριστης ἀνάλυσης Α βαθμοῦ τοῦ κεφαλαίου 165. Τέτοιου εἴδους πρόβλημα ὑπάρχει στὸ τέλος τῆς ἔκδοσης τῆς Ἀριθμητικῆς Εἰσαγωγῆς τοῦ Νικόμαχου τοῦ Γερασηνοῦ (2^ος αἰ.). Μολονότι ὁ συγγραφέας του εἶναι ἀνώνυμος, συμπεριλήφθηκε στὴν ἔκδοση στὰ πλαίσια συλλογῆς τέτοιων προβλημάτων.

Στὸ ἀνωτέρω πρόβλημα ζητεῖται ἀριθμὸς χ μεταξὺ τοῦ 7 καὶ τοῦ 105[1], τέτοιος ὥστε:

χ=3π+2,

χ=5ρ+2,

χ=7σ+6, ὅπου π, ρ, σ εἶναι φυσικοὶ ἀριθμοί.

Γιὰ τὴ λύση του πολλαπλασιάζεται τὸ πρῶτο ὑπόλοιπο μὲ τὸ 70 (5.7.2), τὸ δεύτερο μὲ τὸ 21 (3.7) καὶ τὸ τρίτο μὲ τὸ 15 (3.5). Τὰ γινόμενα, τὰ ὁποῖα προκύπτουν ἀπὸ τοὺς ἀνωτέρω πολλαπλασιασμοὺς προστίθενται, καὶ ἀπὸ τὸ ἄθροισμά τους ἀφαιρεῖται τὸ διπλάσιο τοῦ 105 (τὸ 105 εἶναι τὸ ε.κ.π. τῶν 3, 5, 7), ὁπότε προκύπτει ὁ ἀριθμὸς 62. Σημειωτέον, ὅτι δὲν δίνεται ἡ παραμικρὴ ἐξήγηση γιὰ τὴν ἐπιλογὴ καὶ χρήση τῶν ἀριθμῶν 70, 21, 15[2]. Στὰ μαθηματικὰ σχόλια διαπραγματεύομαι μὲ διαφορετικὴ μέθοδο τὸ θέμα, καταλήγοντας στὸ ἴδιο ἀποτέλεσμα.

Βέβαια στὴν κινέζικη "κλασσικὴ ἀριθμητικὴ" τοῦ 6^ου π.Χ. αἰ., τὴν ὁποία ἔγραψε ὁ Sun-Tsu, ἢ Suan-Tse, τίθεται παρεμφερὲς πρόβλημα, ὅπου ζητεῖται ἀριθμὸς χ, γιὰ τὸν ὁποῖο νὰ ἰσχύουν οἱ σχέσεις:

χ=3.ψ+2

χ=5.ζ+3

χ=7.υ+2,

καὶ γιὰ τὴ λύση τοῦ ὁποίου ἐφαρμόζουν τὸν κανόνα Ta-yen. Αὐτὸς ὁ κανόνας εἶναι κατ' οὐσίαν ἴδιος μὲ τὸν κανόνα τοῦ Gauss. Προσδιορίζονται δηλαδή, ἴσως δοκιμαστικὰ οἱ ἀριθμοὶ κ, λ, μ, ὥστε:

5.7.κ=1(mod3)

7.3.λ=1(mod5)

3.5.μ=1(mod7), ὁπότε κ=2, λ=1, μ=1, συνεπῶς

5.7.2=70, 7.3.1=21, 3.5.1=15, καὶ

70.2+21.3+15.2=233.

Κατόπιν ἀφαιροῦμε ἀπὸ τὸ 233 ὅσες φορὲς εἶναι δυνατὸν τὸ γινόμενο 3.5.7, καὶ εὑρίσκουμε 23[3].

---

[1] Ὁ συγγραφέας τοῦ χειρογράφου μας ζητεῖ ἀριθμὸ μικρότερο τοῦ 100, ἀλλὰ στὸ τέλος ἀφαιρεῖ ἀπὸ τὸ 272 τὸ διπλάσιο τοῦ 105 (κεφ. 165).

[2] Ὁ Νικόμαχος ἀναφέρεται σὲ "μέθοδο, δι' ἧς ἀστείως εὑρήσεις, οἷον ἀριθμὸν ἔχει τις ἐπὶ νοῦν". Σύμφωνα μὲ αὐτὴ τὴ μέθοδο, ἂν θεωρήσει κάποιος "κρυφὰ" τὸν ἀριθμὸ 28, θὰ ἀκολουθήσει τὴν ἑξῆς διαδικασία: Ἐπειδὴ τὸ 3 στὸ 28 χωρᾶ 9 φορὲς καὶ περισσεύει 1, πολλαπλασιάζει τὸ 1 μὲ τὸ 70, καὶ λαμβάνει 70. Ἐπειδὴ καὶ τὸ 5 χωρᾶ 5 φορὲς καὶ περισσεύουν 3, πολλαπλασιάζει τὸ 3 μὲ τὸ 21, καὶ λαμβάνει 63. Τέλος, ἐπειδὴ τὸ 7 χωρᾶ 4 φορὲς ἀκριβῶς, μὲ ὅποιον ἀριθμὸ καὶ ἂν πολλαπλασιάσει τὸ ὑπόλοιπο, δηλαδὴ τὸ 0, θὰ λάβει 0. Ἀκολούθως προσθέτει τὸ 70 μὲ τὸ 63 καὶ λαμβάνει 133. Ἀπὸ τὸ 133 ἀφαιρεῖ τὸ 105 καὶ λαμβάνει τὸν ἀριθμὸ 28. Βλ. Nicom., Intr. arith., σελ. 152. Σταμάτη, Ἑλλ. Mαθ., σελ. 5

[3] Loria, Ἱστ. Μαθ., σελ. 210. Σύμφωνα μὲ τὸ κινέζικο θεώρημα, ἂν οἱ θετικοὶ ἀκέραιοι m_ϳ (ϳ=1,...,r) εἶναι ἀνὰ δύο πρῶτοι μεταξύ τους, καὶ ἂν οἱ a_ϳ (ϳ=1,...,r) εἶναι ἀκέραιοι ἀριθμοί, τότε οἱ r ἰσοτιμίες x=a_ϳ(modmϳ) (ϳ=1,...,r) ἔχουν μία κοινὴ λύση, ἡ ὁποία εἶναι μοναδικὴ (modm₁,m₂,...,m_r). Βλ. J. Hunter, Ἀριθμοθεωρία, μετάφ. Ν. Κρητικοῦ, ἐκδ. Σύλλογος πρὸς διάδοσιν ὠφελίμων βιβλίων, Ἀθήνα 1974, σελ. 70.

 ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΣΤΟΝ ΚΩΔΙΚΑ 65:

Μαθηματικός σχολιασμός τοῦ κεφ. 165. (ρξε).  

Εὕρεση τοῦ ἀριθμοῦ χ, ὅταν πρόκειται γιὰ νομίσματα λιγότερα ἀπὸ 100, καὶ γιὰ τὸν ὁποῖον ἰσχύει:

χ= 3π+2, χ= 5ρ+2, χ= 7σ+6, ὅπου π, ρ, σ θετικοὶ ἀκέραιοι.

Ὁ συγγραφέας ἀκολουθεῖ τὴν ἑξῆς διαδικασία:

2.70= 140, 2.21= 42, 6.15= 90, 140+42+90= 272, 272- 2.105= 62.

Θὰ μπορούσαμε νὰ ἀντιμετωπίσουμε τὸ πρόβλημα ὡς ἑξῆς:

Θέτουμε χ= 15τ+2, μὲ τ θετικὸ ἀκέραιο. Συνεπῶς 15τ+2= 5ρ+2, καὶ ρ/3= τ. Ἀλλὰ 3π+2= 5ρ+2, ὁπότε τ= π/5. Ἐπίσης ἰσχύει ὅτι τὸ 5ρ εἶναι μικρότερο ἀπὸ τὸ 98, δηλαδὴ τὸ ρ εἶναι μικρότερο ἀπὸ τὸ 19, ἢ τὸ τ εἶναι μικρότερο ἀπὸ 19/3, δηλαδὴ τὸ τ εἶναι μικρότερο ἢ ἴσο μὲ τὸ 6.

Κατὰ συνέπεια θὰ ἔχουμε τὶς περιπτώσεις:

χ= 15.6+2= 92= 3.30+2= 7.13+1, ἀπορίπτεται.

χ= 15.5+2= 3.25+2= 7.11+0, ἀπορίπτεται.

χ= 15.4+2= 3.20+2= 7.8+6= 62, δεκτὴ τιμή.

The book at the University of Heidelberg

THE THIRD EDITION (2014) AS AN EBOOK with title: Ta Vyzantina Mathematika, The Codex Vindobonensis phil. gr. 65 of the 15th cent. vol. I (Arithmetike-Algevra-Logistike), pp. 93, 107

THE BOOK AS SOURCE AT THE UNIVERSITY OF CAMBRIDGE 

SOME DETAILS ON THE COMPOSITION OF THE BOOK