The Byzantines and the 'Number Theory' according to the Codex Vindobonensis phil. gr. 65 (Original proof by M. Chalkou- Doctoral Theses in 2003)

 

SOURCE: MARIA CHALKOU, THE MATHEMATICAL CONTENT OF THE CODEX VINDOBONENSIS PHIL. GR. 65 OF THE 15TH CENT. INTRODUCTION, EDITION AND COMMENTS, PUB. BYZANTINE RESEARCH CENTER, ARISTOTELEAN UNIVERSITY OF THESSALONIKI, JUNE 2006.

  Οἱ γνώσεις τῶν Βυζαντινῶν

Γιὰ τὴν δοκιμὴ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ 15.6= 90 ὁ Ἕλληνας συγγραφέας τοῦ 15ου αἰ. προτείνει:
"Ἄφελε τὰ 15 ὁσάκις χωρῶσι ἐπὶ τῶν 7· δὶς οὖν 7 γίνονται 14, περιττεύει 1 μέχρι τῶν 15......" Αὐτὸ σημαίνει ὅτι ζητεῖ τὸ ὑπόλοιπο τῆς διαίρεσης τοῦ 15 μὲ τὸ 7, τὸ ὁποῖο εἶναι 1. Ἐπειδὴ δὲ τὸ ὑπόλοιπο τῆς διαίρεσης τοῦ 6 μὲ τὸ 7 εἶναι 6, πολλαπλασιάζει τὸ 1 μὲ τὸ 6 καὶ θέτει τὸ ἐξαγόμενο ἐντὸς κύκλου. Τέλος βρίσκει τὸ ὑπόλοιπο τῆς διαίρεσης τοῦ 90 μὲ τὸ 7, τὸ ὁποῖο εἶναι 6 καὶ τὸ συγκρίνει μὲ τὸν ἀριθμὸ ποὺ ἔχει θέσει μέσα σὲ κύκλο. Ἐφόσον τὰ δύο ἀποτελέσματα συμπίπτουν, τότε ὁ πολλαπλασιασμὸς εἶναι σωστός.
Ποῦ στηρίζει τὴ μεθοδό του;

  Ἂν συμβολίσουμε μὲ Π τὸν πολλαπλασιαστέο καὶ μὲ Ρ τὸν πολλαπλασιαστή, τότε ἰσχύει ἡ σχέση: Π.Ρ≡ Π.Ρ(mod7), καὶ ἄν, Π=7κ+υ, καὶ Ρ=7λ+ν μὲ κ, λ, υ, ν φυσικοὺς ἀριθμούς καὶ υ, ν <7, τότε Π.Ρ≡(7κ+υ).(7λ+ν) (mod7), δηλαδὴ Π.Ρ≡ υ.ν+(7κλ+κν+λυ).7(mod7), ὁπότε Π.Ρ≡υ.ν(mod7) Καὶ ἔτσι αἰτιολογεῖται μαθηματικῶς ἡ μέθοδος μὲ τὰ ὑπόλοιπα τῶν διαιρέσεων μὲ τὸ 7, τὴν ὁποία χρησιμοποιεῖ ὁ συγγραφέας τοῦ 15ου αἰ.

 

Σ' ἕνα ἄλλο πρόβλημα ὁ Βυζαντινὸς συγγραφέας ἀσχολεῖται μὲ πρόσθεση τελικῶν ποσῶν ποὺ προκύπτουν ἀπὸ διάφορους ΄λογαριασμοὺς δανειστικούς΄.

Προσθέτει 1695+1393+3454+4565 καὶ βρίσκει 11107.

Σήμερα δὲν ἀναφερόμαστε σὲ δοκιμὴ προσθέσεων μὲ περισσότερους ἀπὸ δύο προσθετέους.

Στὸν Codex Vindobonensis phil. gr. 65 (ff. 11r-126r) ὑπάρχει δοκιμὴ μὲ τὴν ἴδια μέθοδο ποὺ ἐφαρμόζει ὁ συγγραφέας γιὰ τὴν πράξη τοῦ πολλαπλασιασμοῦ, ἡ ὁποία ἔχει ὡς ἑξῆς:

Διαιρεῖ κάθε προσθετέο μὲ τὸ 7, ὁπότε ἀπὸ τὴν πρώτη διαίρεση ἔχει ὑπόλοιπο 1, ἀπὸ τὴν δεύτερη ὑπόλοιπο 0, ἀπὸ τὴν τρίτη ὑπόλοιπο 3, καὶ ἀπὸ τὴν τέταρτη ὑπόλοιπο 1. Κατόπιν διαιρεῖ καὶ τὸ ἄθροισμα 11107 μὲ τὸ 7 καὶ βρίσκει ὑπόλοιπο 5. Προσθέτει τὰ 4 ὑπόλοιπα τῶν τεσσάρων προσθετέων, καὶ βρίσκει πάλι 5. Γράφει τότε πὼς ἡ πρόσθεση εἶναι σωστή.

Σὲ ποιά θεωρία στηρίζεται ὁ συγγραφέας;

Αὐτὴ ἡ διαδικασία μπορεῖ νὰ αἰτιολογηθεῖ ὡς ἑξῆς:

Συμβολίζουμε μὲ Α₁, Α₂, Α₃, Α₄ τοὺς πιὸ πάνω προσθετέους, μὲ υ₁= 1, υ₂= 0, υ₃= 3, υ₄= 1 τὰ ἀντίστοιχα ὑπόλοιπα τῶν διαιρέσεών τους μὲ τὸ 7, καὶ μὲ κ, λ, μ, ν τὰ ἀντίστοιχα πηλῖκα αὐτῶν τῶν διαιρέσεων. Τότε θὰ ἰσχύει:

Α₁+Α₂+Α₃+Α₄≡ Α₁+Α₂+Α₃+Α₄(mod7), ὁπότε

7κ+υ₁+7λ+υ₂+7μ+υ₃+7ν+υ₄ ≡Α₁+Α₂+Α₃+Α₄(mod7), δηλαδὴ

υ₁+υ₂+υ₃+υ₄+7(κ+λ+μ+ν) ≡ Α₁+Α₂+Α₃+Α₄(mod7), ἢ

υ₁+υ₂+υ₃+υ₄≡ Α₁+Α₂+Α₃+Α₄ (mod7)

Βλ. Μαρία Χάλκου, Ιστορικές Μαθηματικές Μέθοδοι κατά την Ελληνική Βιενναία Μαθηματική Πραγματεία, Ευκλείδης γ', εκδ. Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία, τεύχος 69, 2008, σελ. 102-122.

Bλ.  Πηγή: Μαρία Χάλκου, Το Μαθηματικό Περιεχόμενο του Codex Vindobonensis phil. gr. 65 of the 15th cent. (ff. 11r-126r), Εισαγωγή, Έκδοση και Σχόλια, εκδ. ΚΒΕ, Θεσσαλονίκη 2006, σελ. 82, 83, 212, 213.

 THE THIRD EDITION (2014) AS AN EBOOK with title: Ta Vyzantina Mathematika, The Codex Vindobonensis phil. gr. 65 of the 15th cent. vol. I (Arithmetike-Algevra-Logistike)

THE THIRD EDITION (2014) AS AN EBOOK with title: Ta Vyzantina Mathematika, The Codex Vindobonensis phil. gr. 65 of the 15th cent. vol. II (Geometria-Geodaisia)