A rare mathematical method for the distribution of profits to the shareholders of a company

Ἡ ἕκτη ἑνότητα στό χειρόγραφο (κεφ. 103-106) περιλαμβάνει προβλήματα μερισμοῦ καὶ  ἑταιρείας, οἱ ρίζες τῶν ὁποίων ἀνάγονται στὴν ἀρχαιότητα. Π.χ. στὸν Πάπυρο τοῦ Ἀχμὶμ περιέχονται κανόνες μερισμοῦ[1] ἀλλὰ καὶ προβλήματα ἑταιρείας σύμφωνα μὲ τὶς αἰγυπτιακὲς μεθόδους[2]. Μὲ τέτοιου εἴδους προβλήματα ἀσχολήθηκε καὶ ὁ Ἄραβας Ἀλ Χουαρίζμι[3] καθὼς καὶ ὁ Ἰνδὸς Srïdhara[4].

Tὰ προβλήματα μερισμοῦ καὶ ἑταιρείας εἶναι ἐφαρμογὲς τῆς μεθόδου τῶν τριῶν. Ἑπομένως, οἱ τυχὸν ἐπιδράσεις, τὶς ὁποῖες ἔχει δεχθεῖ ὁ συγγραφέας ἀναφέρονται τελικῶς σ' αὐτὴ τὴ μέθοδο, καὶ εἰδικώτερα σ' ἐκείνη τῶν ἀναλογιῶν.
Αὐτὲς οἱ μέθοδοι ἦταν διαδεδομένες τόσο στὸ Βυζάντιο, ὅσο καὶ στὴ Δύση. Μία σχετικὴ μαρτυρία ἀφορᾶ στὸν Νικ. Ραβδᾶ (1351 μ.Χ.), ὁ ὁποῖος σὲ ἐπιστολὴ του πρὸς τὸν Θ. Τζαβούχη λύνει ἀσκήσεις μὲ τὴ μέθοδο τῶν τριῶν. Ὁρισμένες δὲ ἀπὸ αὐτὲς ἔχουν τὴ μορφὴ προβλημάτων ἑταιρείας.

Στὴ Δύση, ὁ Φιμπονάτσι γράφει σχετικῶς μὲ αὐτὰ στὸ ἔργο του Liber Abbaci[5]. Ὁ L. Pacioli (1445-1517 μ.Χ.)[6], ὁ ὁποῖος δίδασκε Μαθηματικὰ τοῦ ἐμπορίου, ἀναφέρεται ἐπίσης σὲ θέματα αὐτῆς τῆς μορφῆς. Ὁμοίως καὶ ὁ Bombelli ἔγραψε μία Ἄλγεβρα (1557), στὴν ὁποία περιλαμβάνονταν προβλήματα ἑταιρειῶν.

Μία καινοτομία στόν Codex Vindobonensis phil. gr. 65 εἶναι ὀ τρόπος τοῦ μερισμοῦ τοῦ κέρδους μίας ἐπιχείρησης στοὺς συνεταίρους της (κεφ. 106). Ἀντὶ νὰ πολλαπλασιάζεται τὸ κεφάλαιο τοῦ καθενὸς συνεταίρου μὲ τὸν χρόνο ποὺ αὐτὸ παραμένει στὴν ἐπιχείρηση, ὅπως κάνουμε σήμερα, προστίθεται τὸ κάθε κεφάλαιο μὲ τὸν ἀντίστοιχο χρόνο παραμονῆς του στὴν ἐπιχείρηση.

Ἐκ πρώτης ὄψεως νομίζει κανεὶς ὅτι πρόκειται περὶ λάθους, ἀφοῦ ἡ  μέθοδος ἡ ὁποία διδάσκεται ἕως σήμερα εἶναι αὐτὴ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ τοῦ κεφαλαίου ἐπὶ τὸν χρόνο παραμονῆς του στὴν ἐπιχείρηση, ὅπως φαίνεται καὶ σὲ προβλήματα τῆς Ἀριθμητικῆς τοῦ Masterson (1592 μ.Χ.)[7]. Ἡ ἄποψη ὅτι δὲν πρόκειται περὶ λάθους φαίνεται νὰ ἐνισχύεται ἀπὸ τὴν ἐπεξήγηση τοῦ συγγραφέα: "Πολλοὶ λογαριασμοὶ γίνονται χωρὶς ρίζαν τῆς τέχνης, μόνον μὲ σκοπόν· καὶ εἶναι ἀκριβότερος ἐκεῖνος ὁ λογαριασμὸς τοῦ σκοποῦ παρ' οὗ ἐκείνου, ὁποῦ γίνεται μὲ τὴν τέχνην"[8]. Ἑπομένως τίθεται τὸ ἐρώτημα, ἂν πρόκειται γιὰ σκόπιμα λάθη, δηλαδὴ ἂν πρόκειται γιὰ ἕνα παραδεκτὸ ἢ ἀναγκαστικὸ διακανονισμό, ἀποτέλεσμα κάποιας συμφωνίας  μεταξὺ τῶν μετόχων.

---

[1] Vogel, Bυζ. ἐπιστ., σελ. 809.

[2] Hunger, Βυζ. Λογ., τόμ. III, σελ. 28.

[3] Βλ. Boyer-Merzbach, Ἱστορία Μαθ., σελ. 256.

[4] Smith, Hist. Math., τόμ. I, σελ. 274.

[5] Vogel, Fibonacci, σελ. 606.

[6] Rose, Ital. Ren. Math.,  σελ. 144, 146.

[7] Smith, Hist. Math., τόμ. II, σελ. 556.

[8] ὅ. π., σελ. 72.

SOURCE: MARIA CHALKOU, THE MATHEMATICAL CONTENT OF THE CODEX VINDOBONENSIS PHIL. GR. 65 OF THE 15TH CENT. INTRODUCTION, EDITION AND COMMENTS, PUB. BYZANTINE RESEARCH CENTER, ARISTOTELEAN UNIVERSITY OF THESSALONIKI, JUNE 2006.

THE BOOK AT THE AUSTRIAN ACADEMY OF SCIENCE

THE THIRD EDITION (2014) AS AN EBOOK with title: Ta Vyzantina Mathematika, The Codex Vindobonensis phil. gr. 65 of the 15th cent. vol. I (Arithmetike-Algevra-Logistike), Athens 2014, pp. 60, 61.