The Mathematics after the Byzantine era

Οἱ ἐρευνητὲς θεωροῦν ὅτι κατὰ τὶς τελευταῖες δεκαετίες πρὶν τὴν ἅλωση τῆς Κωνσταντινούπολης δὲν παρατηρήθηκε κάποια σημαντικὴ προσφορὰ τῶν Βυζαντινῶν στὸν τομέα τῶν Μαθηματικῶν. Βέβαια τὴν ἴδια ἐποχὴ ἔχει καταγραφεῖ ἡ ὕπαρξη μεγάλου πλήθους χειρογράφων, γεγονὸς ποὺ δείχνει ὅτι τὸ ἐνδιαφέρον γιὰ τὴν τετρακτὺ ἀλλὰ καὶ γιὰ τὴ Λογιστικὴ[1] καὶ τὴ Γεωδαισία[2] ποὺ ἦταν κλάδοι τῶν ἐμπορικῶν Μαθηματικῶν[3] ἦταν μεγάλο. Ὑπενθυμίζουμε, ὅτι, ὅπως ἤδη ἔχει προαναφερθεῖ, πολλὰ ἑλληνικὰ χειρόγραφα πέρασαν ἢ ἐπρόκειτο νὰ περάσουν στὴ Δύση μέσω κυρίως τῆς Φλωρεντίας, γεγονὸς ποὺ συνετέλεσε στὴν πνευματικὴ ἀναγέννηση τῆς Εὐρώπης.[4]

Ἀπὸ ἐπιστημονικῆς ἄποψης, ὅσον ἀφορᾶ στὰ Μαθηματικὰ φθάνουμε στὸ τέλος τῆς Βυζαντινῆς ἐποχῆς μὲ πολλὰ συγγράμματα πρακτικῆς φύσεως. Ὁ μεγάλος ἀριθμὸς αὐτοῦ τοῦ εἴδους χειρογράφων ὀφείλεται στὸ ὅτι ὅσο καὶ ἂν εἶχε μειωθεῖ ὁ πληθυσμὸς τῆς Κωνσταντινούπολης καὶ ἡ οἰκονομικὴ κατάσταση τῶν πολιτῶν ἦταν κακή, ἀπὸ τὴν καθημερινή τους ζωὴ ποὺ ἀσφαλῶς συνεχιζόταν, δὲν ἔλλειπαν τα προβλήματα καὶ οἱ διαφορὲς ποὺ δημιουργοῦσαν οἱ μεταξύ τους σχέσεις. Ἡ ἄποψη αὐτὴ ἐνισχύεται καὶ ἀπὸ τὴν ὕπαρξη πολλῶν συνοδικῶν ἀποφάσεων τῆς ἐποχῆς σχετιζόμενες μὲ θέματα ἀγοραπωλησίας ἀκινήτων, κληρονομικά, ἐμπορικῶν συναλλαγῶν κ. ἄ.[5] Τὰ προαναφερθέντα αὐτὰ χειρόγραφα εἶναι ὡς ἐπὶ τὸ πλεῖστον βιβλία Ἀριθμητικῆς, ποὺ περιέχουν ἐπιλεγμένα προβλήματα προερχόμενα ἀπὸ κληροδοτήματα τῆς παράδοσης πολλῶν χρόνων καὶ λαῶν. Ὡστόσο ἀξίζουν τῆς προσοχῆς τῶν ἐρευνητῶν ἀφοῦ περιέχουν πολύτιμα στοιχεῖα γιὰ τὴν ἐξέλιξη τοῦ πολιτισμοῦ καὶ τῆς γλώσσας, ἀλλὰ καὶ θέματα θεωρητικῆς φύσης ὅπου οἱ Βυζαντινοὶ προσπαθοῦν νὰ ἀνακαλύψουν καὶ νὰ δώσουν παράλληλα μὲ τοὺς Δυτικοὺς τὶς λύσεις τους. Συγκεκριμένα ἀναφέρουμε τὴν ἀπόπειρα εὕρεσης μεθόδου ἐπίλυσης ἐξισώσεων ἀνωτέρου τοῦ 2^ου βαθμοῦ ποὺ καταγράφεται στὸν κώδικα 65.[6] Παρατηρεῖται ὅτι ἡ μεθοδολογία τοῦ ἀνώνυμου συγγραφέα εἶναι λανθασμένη, ὅπως ἀκριβῶς συμβαίνει μὲ τὶς μεθοδολογίες ὅλων τῶν συγγραφέων τῆς ἐποχῆς, ἀφοῦ ἡ ὀρθὴ γενικὴ λύση δόθηκε τὸ 1615 ἀπὸ τὸν Vietà.[7]

Εἶναι λυπηρό δυστυχῶς τὸ γεγονὸς ὅτι πολλὲς Ἀριθμητικὲς ποὺ προορίζονταν καὶ γιὰ τὴ διδασκαλία στὰ Δημοτικὰ σχολεῖα χάθηκαν, ἐκτὸς ἀπὸ ἐλάχιστες τοῦ 14ου καὶ τοῦ 15ου αἰ. Κάποιες ἀπὸ αὐτὲς δημοσιεύθηκαν στὴ Βιέννη, καὶ σύμφωνα μὲ τοὺς ἐκδότες H. Hunger και K. Vogel στὰ ἀρχεῖα τῆς Βιέννης ὑπάρχουν ἀκόμα πρὸς μελέτη πολλὰ ἀνέκδοτα προβλήματα τῶν τελευταίων χρόνων τῆς Βυζαντινῆς Αὐτοκρατορίας καὶ τῶν πρώτων δεκαετιῶν ἀπὸ τὴν ἅλωση τῆς Κωνσταντινούπολης τὸ 1453 μ.Χ.[8]

Ἡ παιδεία στὴν τουρκοκρατούμενη Ἑλλάδα

Τὰ ὑπόλοιπα 47 χρόνια μετὰ τὴν ἅλωση, ὅλος ὁ 16ος αἰ. καὶ ἕνα μέρος τοῦ 17ου αἰ. σύμφωνα μὲ τὴν ἄποψη ὁρισμένων ἐρευνητῶν  χαρακτηρίζονται ἀπὸ τὴν ἀνυπαρξία τῆς παιδείας στὴν Ἑλλάδα.[9] Κατὰ τὸν Νικόλαο Φιλιππίδη: ΄΄Καὶ τὰ σχολεῖα τὰ ἔκλεισαν καὶ τὰ κατέστρεψαν οἱ Τοῦρκοι, οἱ ὁποῖοι ἤθελον νὰ ἔχωσι τοὺς χριστιανοὺς πάντοτε ἀγραμμάτους καὶ τυφλοὺς διὰ νὰ λησμονήσωσι τὴν ἐλευθερίαν, τὴν καταγωγήν, τὴν ἐθνικότητα καὶ τὴν ἱστορίαν των, διὰ νὰ μὴ γνωρίζωσι τὴν θρησκεία των καὶ διὰ νὰ μὴ μάθωσι ποτὲ τί συμβαίνει εἰς τὸν κόσμον. Καὶ τοιουτοτρόπως νὰ τοὺς κρατῶσι πάντοτε δούλους καὶ ὑπὸ τὸν ζυγόν των΄΄. Κατὰ τὸν Φιλιππίδη λοιπόν, γιὰ περίπου 200 χρόνια μετὰ τὴν ἅλωση ἐπεκράτησε σκοτάδι πλήρους ἀμάθειας σὲ ὅλους σχεδὸν τοὺς τόπους τῆς ἀνατολῆς. Καὶ ἐνῶ στὴν Εὐρώπη, ἀπὸ τὸν 11ον αἰ. καὶ μετὰ διδάσκονταν συστηματικὰ[10] ἔργα τῆς ἐμβέλειας τῶν ‘Στοιχείων τοῦ Εὐκλείδη’, ὅπως ‘ἡ Τετρακτύς’ κ. ἄ., στὴν τουρκοκρατούμενη Ἑλλάδα οἱ ἱερεῖς καὶ οἱ ψάλτες κυρίως, κατάφερναν μετὰ δυσκολίας νὰ διδάξουν τὰ παιδιὰ τὰ ‘ἐκκλησιαστικὰ γράμματα’, ὄχι βέβαια σὲ σχολεῖα, ἀλλὰ στὰ προαύλια καὶ τοὺς νάρθηκες τῶν ἐκκλησιῶν, κρυμμένοι πίσω ἀπὸ τοίχους-περιφράξεις γιὰ νὰ μὴ γίνουν ἀντιληπτοὶ καὶ διατρέξουν κίνδυνο.[11]

Ὁρισμένοι ἐρευνητὲς ἔχουν τὴν ἄποψη πὼς οἱ Ὀθωμανοὶ στὴν οὐσία ἀδιαφοροῦσαν γενικώτερα γιὰ τὴ μόρφωση τῶν Ἑλλήνων, στοὺς ὁποίους παραχωροῦσαν τὸ δικαίωμα στὴν ἐλευθερία καὶ τὴν εὐθύνη τῆς ἐπιλογῆς τῆς ἐκπαίδευσής τους. Οἱ ἴδιοι οἱ ἐρευνητὲς πιστεύουν ὅτι τὸ κρυφὸ σχολειὸ δὲν ὐπῆρξε ποτέ, ἀλλὰ ἐπρόκειτο γιὰ ἔνα μύθο ὁ ὁποῖος ἐξυπηρετοῦσε ἐθνικὲς σκοπιμότητες.[12] Ὡστόσο θεωρεῖται βέβαιον ὅτι κατὰ τοὺς πρώτους αἰῶνες τῆς τουρκοκρατίας τὸ ‘κοινὸ σχολεῖο’, ποὺ παρεῖχε στοιχειώδη μόρφωση κατωτέρου ἐπιπέδου, ἦταν γιὰ τὰ ἑλληνόπουλα ἡ ἀνώτερη εὐκαιρία μόρφωσης.[13] Ἐπιπλέον δέ, τὰ μαθήματα γίνονταν κατὰ τὴ διάρκεια τῆς νύχτας, ἴσως γιατὶ δὲν ὑπῆρχαν δάσκαλοι, καὶ οἱ κληρικοὶ ποὺ προσφέρονταν νὰ διδάξουν εἶχαν αὐτὴ τὴ δυνατότητα μόνο τὴ νύχτα, μιᾶς καὶ τὴν ἡμέρα ἔπρεπε νὰ δουλεύουν γιὰ νὰ ζήσουν.[14]

Ὁ Ἕλληνας λόγιος τῆς δισπορᾶς Νικόλαος Σοφιανὸς (Κέρκυρα 1500-1552) ἔχει τὴν ἄποψη ὅτι ἡ ἑλληνικὴ πνευματικὴ παράδοση δὲν ἔπαυσε ὁριστικὰ κατὰ τοὺς δύο πρώτους αἰῶνες τῆς τουρκοκρατίας στὴν κατεχόμενη Ἑλλάδα, ἀφοῦ σύμφωνα μὲ τὴ μαρτυρία του: ΄΄Μόλις εὑρίσκεται τώρα διδάσκαλος ὅπου νά' ναι ἱκανὸς νὰ διδάσκει τοὺς νέους κὰν τὴν γραμματικὴν τέχνην΄΄. Μάλιστα κατὰ τὶς τελευταῖες δεκαετίες τοῦ 16ου αἰ. παρατηρεῖται περιορισμένη διδασκαλικὴ δραστηριότητα στὴν Ἀλεξανδρούπολη, τὴ Χίο καὶ τὴν Ἀθήνα.[15] Σύμφωνα μὲ τὸν Ν. Γεωργακόπουλο, ἂν ὑπῆρξαν ἐπιφυλάξεις ἐκ μέρους τῶν κατακτητῶν σχετικὰ μὲ τὴ λειτουργία τῶν σχολείων, αὐτὸ ἴσως νὰ ὀφείλετο στὴν ὑποψία ὅτι τὸ ἔργο ποὺ θὰ γινόταν στὰ σχολεῖα, ἐκτὸς ἀπὸ μάθημα θὰ περιελάμβανε καὶ κατήχηση γύρω ἀπὸ τὰ ἐθνικὰ ἰδεώδη, γεγονὸς τὸ ὁποῖο θὰ μποροῦσε νὰ πυροδοτήσει βίαιες καὶ ἀκραῖες ἀντιδράσεις στὴν κατεχόμενη Ἑλλάδα.

Ἐκεῖνο ὅμως ποὺ φαίνεται νὰ μὴ δύναται νὰ ἀμφισβητηθεῖ εἶναι τὸ ὅτι δὲν ὑπῆρξε ρητὴ καὶ γενικὴ ἀπαγόρευση σχετικὰ μὲ τὴν ἵδρυση καὶ λειτουργία σχολείων ἀπὸ τοὺς Τούρκους κατακτητές, οἱ ὁποῖοι λόγω τῆς δεδομένης ἀμάθειάς τους ἦταν φυσικὸ νὰ ἀδιαφοροῦν γιὰ ζητήματα ποὺ ἀφοροῦσαν στὴ μόρφωση καὶ τὴν παιδεία γενικώτερα τῶν Ἑλλήνων.[16] Καὶ παρὰ τὸ ὅτι σύμφωνα μὲ τὸν G. Henderson τὸν πρῶτον ἑνάμισυ αἰώνα τῆς τουρκοκρατίας δὲν βρέθηκε σὲ ὁλόκληρη τὴ χώρα ἴχνος πρωτότυπης γραπτῆς ἐπιστημονικῆς δημιουργίας στὴν ἑλληνικὴ γλώσσα,[17] ἐντούτοις μέσα στὶς λιγοστὲς πνευματικὲς κινήσεις ποὺ καταγράφονται εἶναι ἡ ἵδρυση κατὰ τὸ 1454 στὴν Κωνσταντινούπολη τῆς Μεγάλης τοῦ Γένους Σχολῆς, ἡ ἔκδοση τοῦ πρώτου ἑλληνικοῦ βιβλίου μὲ τίτλο: ‘Ἐπιτομὴ τῶν ὀκτὼ τοῦ λόγου μερῶν’ ἀπὸ τὸν Κωνσταντίνο Λάσκαρη τὸ 1476, ἡ ἵδρυση τοῦ πρώτου ἑλληνικοῦ τυπογραφείου στὴ Βενετία τὸ 1486, καὶ ‘ἡ Λογαριαστικὴ’ τοῦ Νικολάου Γλυζωνίου τὸ 1568.[18]

---

[1] Th. Heath, A History of Greek Mathematics, Oxford UΡ, vol. Ι (1921), ΙΙ (1981), τόμ. Ι, σελ. 14. Ἡ Λογιστικὴ ἀσχολεῖται μὲ τὴν ἀρίθμηση ἀντικειμένων καὶ ὄχι μὲ τὴ φύση τῶν ἴδιων τῶν ἀριθμῶν.

[2] Ἤδη ἀπὸ τὴν ἐποχὴ τοῦ Ἀριστοτέλη ἡ Γεωδαισία ἀποτελοῦσε ἕναν διαφορετικὸ κλάδο ἀπὸ τὴ Γεωμετρία, ὅ.π., σελ. 16.

Κατὰ τὸν Ἥρωνα τὸν Ἀλεξανδρέα δέ: ΄΄Γεωδαισία ἐστὶν ἐπιστήμη τῶν ἐν τοῖς αἰσθητοῖς σώμασι μεγεθῶν καὶ σχημάτων διαιρετικὴ καὶ συνθετική. Λαμβάνει τὰ σχήματα οὐ τέλεια οὐδ' ἀπηκριβωμένα τῷ σωματικὴν ὕλην ὑποβεβλῆσθαι, καθώσπερ καὶ ἡ λογιστικὴ μετρεῖ γοῦν καὶ σωρὸν ὡς κῶνον καὶ φρέατα περιφερῆ ὡς κυλινδρικὰ σχήματα ............ χρῆται δέ, ὡς ἡ γεωμετρία τῇ ἀριθμητικῇ, οὕτω καὶ αὕτη τῇ λογιστικῇ ............ ὥσπερ καὶ ὁ γεωμέτρης τὰς λογικὰς εὐθείας μεταχειρίζεται, οὕτω ὁ γεωδαίτης ταῖς αἰσθηταῖς προσχρῆται΄΄. Βλ. Heronis Alexandrini, Stereometrica et de mensuris, vol. V, ed. J. Heiberg, Teubner Stutgard 1976, σελ. 100.

[3] Κ. Vogel, Ἡ Ἱστορία τῆς Βυζαντινῆς Αὐτοκρατορίας, ἐκδ.  "Μέλισσα", Ἀθήνα 1979, (τόμ. ΙΙ, κεφ. ΧΧVΙΙΙ: Κ. Vogel, "Ἡ βυζαντινὴ ἐπιστήμη"). Ἑλλ. μετάφραση τοῦ: History of the Byzantine Empire, (v. II, ch. XXVIII: K. Vogel, “The Byzantine Science”),  Univ. of Wisconsin Press, Cambridge, 1958.Nicomachi Geraseni Pythagorei, Introductionis arithmeticae libri II, ed. Hoche, Teubner, Lipsiae 1866, σελ. 814.

[4] P. L. Rose, The Italian Renaissance of Mathematics, Librairie Droz, Genève 1975, σελ. 26.

[5] Διεθνὲς Ἐπιστημονικὸ Συμπόσιο Ε.Ι.Ε., Χρῆμα καὶ ἀγορὰ στὴν ἐποχὴ τῶν Παλαιολόγων, Ἐλευθερία Παπαγιάννη, Ἡ ἀγορὰ τῶν ἀκινήτων στὴν Κωνσταντινούπολη σύμφωνα μὲ τὶς ἀποφάσεις τοῦ Πατριάρχη Ματθαίου Α΄, ἐκδ. Ε.Ι.Ε., Ἀθήνα 2003,  σελ. 145, 146.

[6] Μαρία Χάλκου, Τὸ Μαθηματικὸ περιεχόμενο τοῦ Codex Vindobonensis phil. Gr. 65 τοῦ 15^ου αἰ., Εἰσαγωγή, Ἔκδοση καὶ Σχόλια, ἐκδ. ΚΒΕ τοῦ ΑΠΘ, Θεσσαλονίκη 2006, σελ. 309, 310.

[7] G. Loria, Ἱστορία τῶν Μαθηματικῶν, ἐκδ. Παπαζήση, τόμ. ΙΙ, Ἀθήνα 1971, σελ. 82-93.

[8] E. Σταμάτη, Ἑλληνικὰ Μαθηματικά, ἐκδ. Ἑταιρείας τῶν φίλων τοῦ λαοῦ, Ἀθήνα ²1979, σελ. 46.

[9] Ἀναστάσιος  Γιαννικόπουλος, Ἡ Ἐκπαίδευση στὴν περίοδο τῆς τουρκοκρατίας, ἐκδ. Γρηγόρη, Ἀθήνα 2001, τόμ. VI Ἱστορία τῆς Ἑλληνικῆς Ἐκπαίδευσης, σελ. 10-16.

[10] Γεώργιος Τσάμπης, Ἡ Παιδεία στὸ Χριστιανικὸ Βυζάντιο, (5) Ἱστορία τῆς Ἑλληνικῆς Ἐκπαίδευσης, ἐκδ. Γρηγόρη, Ἀθήνα 1999, σελ. 271-276.

[11] Νικόλαος Φιλιππίδης, Ἐπίτιμος Ἱστορία τοῦ Ἑλληνικοῦ Ἔθνους 1453-1821, ἐκ τοῦ Τυπογραφείου Α. Καλαράκη, ἐν Ἀθήναις  21900, σελ. 79.

[12] Ἱστορία τῶν Ἑλλήνων, Ὁ Ἑλληνισμὸς ὑπὸ ξένη κυριαρχία 1453-1821, ἐκδ. Δομή, Ἀθήνα 22006, τόμ. Χ, σελ. 448.

[13] Ὅ.π., σελ. 475.

[14] Ἀναστάσιος Γριτσόπουλος, Σχολὴ Δημητσάνας, Ἀθήνα 1962, σελ. 19.

[15] Νίκος Γεωργακόπουλος, Κρυφὸ σχολειό, ἡ σαγήνη τῆς λαϊκῆς μας παράδοσης, Τρίπολη 2006, σελ. 24.

[16] Ὅ.π., σελ. 24, 34, 49.

[17] G. Henderson, Ἡ ἀναβίωση τοῦ Ἑλληνικοῦ στοχασμοῦ, Ἀκαδημία Ἀθηνῶν, Ἀθήνα 1994, σελ. 10.

[18] Γιάννης Καρᾶς, Ἱστορικὴ Γνώση Ἐθνικὴ αὐτογνωσία, Ἀθήνα 2007, σελ. 16.

eBook-source: Η Διδασκαλία των Μαθηματικών στην Ελλάδα κατά τα τελευταία χρόνια της τουρκοκρατίας σύμφωνα με τον κώδικα 72 του 18ου αι. της Βιβλιοθήκης της Δημητσάνας, Εισαγωγή, Έκδοση και Σχόλια, Αθήνα 2009. 

SOURCE: MARIA CHALKOU, THE MATHEMATICAL CONTENT OF THE CODEX VINDOBONENSIS PHIL. GR. 65 OF THE 15TH CENT. INTRODUCTION, EDITION AND COMMENTS, PUB. BYZANTINE RESEARCH CENTER, ARISTOTELEAN UNIVERSITY OF THESSALONIKI, JUNE 2006.

e-Book: Μαρία Χάλκου, Τα Μαθηματικά στην Ελλάδα από τον 15ον έως τον 18ον αι. μ.Χ. Τα μυστικά που αποκαλύπτουν τα χειρόγραφα, Αθήνα 2014 σελ. 17- 25

THE BOOKS AT HARVARD UNIVERSITY (search:Chalkou Maria)