Η οχυρωματική-πολιορκητική τέχνη στο Βυζάντιο

Στον codex vindobonensis phil. gr. 65 το Πυθαγόρειο Θεώρημα αναφέρεται ως ΄κανών της σκάδρας΄, όπου κατά τον ανώνυμο συγγραφέα ΄σκάδρα΄σημαίνει ΄τετράγωνο΄. Οι εφαρμογές αυτού του θεωρήματος σχετίζονται και με προβλήματα της πολιορκητικής- οχυρωματικής τέχνης. Είναι δε ενδεικτικό ότι οι εκφωνήσεις αυτών των προβλημάτων βρίσκονται στα περιεχόμενα του κώδικα, αλλά τα αντίστοιχα φύλλα που περιέχουν τις λύσεις τους έχουν αφαιρεθεί (κλαπεί;) από το χειρόγραφο. Αυτό αποκτά ιδιαίτερη σημασία αν συνδυαστεί με το ότι το χειρόγραφο γράφηκε περίπου 20 χρόνια πριν από την άλωση της Κωνσταντινούπολης.
Στη συνέχεια παραθέτω τις εκφωνήσεις αυτών των προβλημάτων ως έχουν, για να σχηματίσουμε μιαν ιδέα σχετικά με τις κατασκευές που αφορούσαν σε πολεμικά ζητήματα, αλλά και να παρατηρήσουμε τις ασάφειες στις διατυπώσεις των εκφωνήσεων των προβλημάτων στον κώδικα 65.

Τα σχολεία και οι μαθητές στο Βυζάντιο

Τὰ σχολεῖα κατὰ τοὺς βυζαντινοὺς χρόνους λειτουργοῦσαν κυρίως σὲ χώρους ἐκκλησιαστικούς. Οἱ μαθητὲς ἔμεναν συνήθως μέσα σὲ αὐτὰ[22] καὶ ἔτσι εἶχαν τὴν δυνατότητα νὰ ἀναπτύξουν στενὲς σχέσεις μεταξὺ τους, οἱ ὁποῖες συνέβαλαν στὴ δημιουργία κλίματος ποὺ εὐνοοῦσε τὶς ἐπιστημονικὲς συζητήσεις[23] καὶ τὴν πολύωρη ἐνασχόληση μὲ τὰ γράμματα[24]. Βέβαια, ὅπως προκύπτει ἀπὸ τὸν βιενναῖο ἑλλ. φιλ. κώδ. 65 (15ος αἰ.)[25], φαίνεται νὰ ὑπῆρχαν καὶ μαθητές, οἱ ὁποῖοι γιὰ νὰ σπουδάσουν μετακινοῦνταν σὲ ἄλλη πόλη, ὅπου κατοικοῦσαν πολλοὶ μαζὶ στὸν ἴδιο χῶρο πληρώνοντας ἐνοίκιο.

Σχετικὰ μὲ τὸ εἶδος τῶν μαθητῶν γνωρίζουμε ὅτι

A rare mathematical method for the distribution of profits to the shareholders of a company

Ἡ ἕκτη ἑνότητα στό χειρόγραφο (κεφ. 103-106) περιλαμβάνει προβλήματα μερισμοῦ καὶ  ἑταιρείας, οἱ ρίζες τῶν ὁποίων ἀνάγονται στὴν ἀρχαιότητα. Π.χ. στὸν Πάπυρο τοῦ Ἀχμὶμ περιέχονται κανόνες μερισμοῦ[1] ἀλλὰ καὶ προβλήματα ἑταιρείας σύμφωνα μὲ τὶς αἰγυπτιακὲς μεθόδους[2]. Μὲ τέτοιου εἴδους προβλήματα ἀσχολήθηκε καὶ ὁ Ἄραβας Ἀλ Χουαρίζμι[3] καθὼς καὶ ὁ Ἰνδὸς Srïdhara[4].

Tὰ προβλήματα μερισμοῦ καὶ ἑταιρείας εἶναι ἐφαρμογὲς τῆς μεθόδου τῶν τριῶν. Ἑπομένως, οἱ τυχὸν ἐπιδράσεις, τὶς ὁποῖες ἔχει δεχθεῖ ὁ συγγραφέας ἀναφέρονται τελικῶς σ' αὐτὴ τὴ μέθοδο, καὶ εἰδικώτερα σ' ἐκείνη τῶν ἀναλογιῶν.

When a mathematical method is a good tax policy in Byzantium

Α Byzantine mathematical method of calculating the area of ​​a geometric shape related to the determination of the tax

Στὸ κεφάλαιο 222 τοῦ Codex Vindobonensis phil. gr. 65 ὁ ἀνώνυμος συγγραφέας ἀναφέρεται καὶ σὲ ἐμβαδὰ συνθέτων σχημάτων. Τὰ σχήματα αὐτὰ ἀποτελοῦνται ἀπὸ ἄλλα ἁπλούστερα (τρίγωνα, τετράγωνα, παραλληλόγραμμα, κύκλους, κ. ἄ), τῶν ὁποίων τὸ ἐμβαδὸν ὑπολογίζεται μὲ τὶς μεθόδους ποὺ ὁ συγγραφέας ἔχει ἤδη περιγράψει στὰ ἀντίστοιχα κεφάλαια. Παρατηρεῖ δέ, πὼς γενικὰ δὲν ὑπάρχει σύνθετο σχῆμα τοῦ ὁποίου τὸ ἐμβαδὸν νὰ μὴν ὑπολογίζεται μὲ αὐτὲς τὶς μεθόδους.

Ὡς γνωστόν, οἱ Βυζαντινοὶ ὑπολόγιζαν κατὰ προσέγγιση τὸ ἐμβαδὸν ἐκτάσεων ἀκανονίστου σχήματος, βάσει τῆς περιμέτρου τους[1].

The Mathematics after the Byzantine era

Οἱ ἐρευνητὲς θεωροῦν ὅτι κατὰ τὶς τελευταῖες δεκαετίες πρὶν τὴν ἅλωση τῆς Κωνσταντινούπολης δὲν παρατηρήθηκε κάποια σημαντικὴ προσφορὰ τῶν Βυζαντινῶν στὸν τομέα τῶν Μαθηματικῶν. Βέβαια τὴν ἴδια ἐποχὴ ἔχει καταγραφεῖ ἡ ὕπαρξη μεγάλου πλήθους χειρογράφων, γεγονὸς ποὺ δείχνει ὅτι τὸ ἐνδιαφέρον γιὰ τὴν τετρακτὺ ἀλλὰ καὶ γιὰ τὴ Λογιστικὴ[1] καὶ τὴ Γεωδαισία[2] ποὺ ἦταν κλάδοι τῶν ἐμπορικῶν Μαθηματικῶν[3] ἦταν μεγάλο. Ὑπενθυμίζουμε, ὅτι, ὅπως ἤδη ἔχει προαναφερθεῖ, πολλὰ ἑλληνικὰ χειρόγραφα πέρασαν ἢ ἐπρόκειτο νὰ περάσουν στὴ Δύση μέσω κυρίως τῆς Φλωρεντίας, γεγονὸς ποὺ συνετέλεσε στὴν πνευματικὴ ἀναγέννηση τῆς Εὐρώπης.[4]

INTERACTION OF MATHEMATICAL EDUCATION AND BYZANTINE SOCIETY ACCORDING TO THE CODEX VINDOBONENSIS PHIL. GR. 65 OF THE 15TH CENT.

ΔΙΑΒΑΣΤΕ ΤΟ ΑΡΘΡΟ ΕΔΩ

ΕΙΣΗΓΗΣΗ ΣΤΟ 19ο ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟ ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΤΑΙΡΕΙΑΣ, ΚΟΜΟΤΗΝΗ 2002, ΣΕΛ. 406-417

Peloponnese in the 18th cent. and the Higher School of Demetsana according to the Codex 72 named ' Mathematarion'

Συνοπτικὴ περιγραφὴ τῆς κατάστασης ποὺ ἐπικρατοῦσε κατὰ τὰ τέλη τοῦ 18ου αἰ. στὴν Πελοπόννησο καὶ εἰδικώτερα στὴν πόλη τῆς Δημητσάνας, στὴ Σχολὴ τῆς ὁποίας βρέθηκε τὸ χειρόγραφο 72, τὸ ὁποῖο φέρει τὴ σφραγίδα τῆς ἴδιας τῆς Σχολῆς. 

A mathematical method to solve debt problems in the Byzantine Empire

κεφ. 154. (ρνδ). Ὁ συγγραφέας τοῦ χειρόγραφου ἀναφέρεται σὲ κάποιον ὁ ὁποῖος δανείζεται 100 Φ (Φ χρυσὸ νόμισμα) καὶ μετὰ ἀπὸ 2 χρόνια πληρώνει εἰς τὸν δανειστὴν του, τόκο καὶ κεφάλαιο μαζί, 200 Φ. Θέτει τὸ ἐρώτημα, πόσο τόκο πληρώνει τὸν ἕνα χρόνο;

The debt rates in the Byzantine Empire

Ὡς πρὸς τὰ ἐπιτόκια δανεισμοῦ γνωρίζουμε, ὅτι στὴν ἀρχαία Ἑλλάδα τὴν ἐποχὴ τοῦ Δημοσθένους ἕνα ἐπιτόκιο 12% θεωρεῖτο νόμιμο[1]. Στὴν Ἰνδία ὁ Bhāskara (1150 μ.Χ.) ἀναφέρει ἐπιτόκιο 60%, ἐνῷ στὴ Δύση ὁ Sfortunati (1534 μ.Χ.) ἀναφέρει 20%, καὶ ὁ Trenchantro (1566 μ.Χ.) 12%[2].

Οἱ Βυζαντινοὶ εἶχαν στὶς συναλλαγές τους μία πολιτικὴ σταθερὴ ἀνὰ τοὺς αἰῶνες, μὲ κοινωνικὴ ἰσορροπία καὶ μὲ σχετικὰ μικρὴ "ψαλίδα" μεταξὺ πλούσιων καὶ φτωχῶν[3].

The educational work of the School of Demetsana in Greece according to the codex 72 of the 18th cent. of the Library of Demetsana

Τὸ ἐκπαιδευτικὸ ἔργο τῆς Σχολῆς τῆς Δημητσάνας κρίνεται σπουδαῖο146. Οἱ ἀπόφοιτοί της θεωροῦνταν ἄριστοι γνῶστες τῶν ἀρχαίων Ἑλλήνων καὶ Λατίνων συγγραφέων147, ἡ δὲ διδασκομένη ὕλη μπορεῖ νὰ ἦταν λίγη σὲ ἔκταση ἀλλὰ σύμφωνα μὲ ὁρισμένες μαρτυρίες ἦταν Πανεπιστημιακοῦ ἐπιπέδου148. Αὐτὸ εἶναι  ἀναμενόμενο  ἐφ' ὅσον  ἐπρόκειτο κατ' οὐσίαν  γιὰ μία  ¨Πατριαρχικὴ Σχολή¨, ὅρος ποὺ σημαίνει ὅτι

A funny method, or an approach of Indeterminate Analysis according to the Codex Vindobonensis phil. gr. 65 of the 15th century?

 Book- Source: Μαρία Χάλκου, Το Μαθηματικό Περιεχόμενο του Codex Vindobonensis phil. gr. 65 of the 15th cent. Introduction, Edition and Comments, εκδ. Κέντρου Βυζαντινών Ερευνών του Αριστοτέλειου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης, σελ.  47, 48, 390, 391, 392.

Από την Εισαγωγή του βιβλίου

Σημαντικὸ εἶναι τὸ πρόβλημα ἀπροσδιόριστης ἀνάλυσης Α βαθμοῦ τοῦ κεφαλαίου 165. Τέτοιου εἴδους πρόβλημα ὑπάρχει στὸ τέλος τῆς ἔκδοσης τῆς Ἀριθμητικῆς Εἰσαγωγῆς τοῦ Νικόμαχου τοῦ Γερασηνοῦ (2^ος αἰ.). Μολονότι ὁ συγγραφέας του εἶναι ἀνώνυμος, συμπεριλήφθηκε στὴν ἔκδοση στὰ πλαίσια συλλογῆς τέτοιων προβλημάτων.

Στὸ ἀνωτέρω πρόβλημα ζητεῖται ἀριθμὸς χ μεταξὺ τοῦ 7 καὶ τοῦ 105[1], τέτοιος ὥστε:

The Pythagorean Rule according to the Codex 72 of the 18th cent. of the Library of Demetsana

eBook: Η Διδασκαλία των Μαθηματικών στην Ελλάδα κατά τα τελευταία χρόνια της τουρκοκρατίας σύμφωνα με τον κώδικα 72 του 18ου αι. της Βιβλιοθήκης της Δημητσάνας, Εισαγωγή, Έκδοση και Σχόλια, Αθήνα 2009, σελ. 87, 88, 201, 202, 326, 327, 369.
 Read here

The Byzantine mathematical Encyclopedia

http://grmath.blogspot.gr/2014/05/blog-post_650.html#more

THE THIRD EDITION (2014) AS AN EBOOK with title: Ta Vyzantina Mathematika, The Codex Vindobonensis phil. gr. 65 of the 15th cent. vol. I (Arithmetike-Algevra-Logistike)

 

Some information about the symbols of the Byzantine numbers

THE THIRD EDITION (2014) AS AN EBOOK with title: Ta Vyzantina Mathematika, The Codex Vindobonensis phil. gr. 65 of the 15th cent. vol. I (Arithmetike-Algevra-Logistike), 19, 20, 24, 111

  'Από τήν Εἰσαγωγή  τῆς 3ης ἔκδοσης (eBook), σελ. 19, 20

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΝΟΤΗΤΩΝ

ΕΝΟΤΗΤΑ Α.

Εἰδικώτερα στὴν πρώτη ἑνότητα  (κεφ. 1-39, 101, 102)  διαπιστώνουμε τὰ ἑξῆς:

Ἡ ἑνότητα αὐτὴ περιλαμβάνει τὶς τέσσερεις ἀριθμητικὲς πράξεις καὶ τὶς δοκιμές τους. Τὰ σύμβολα ποὺ χρησιμοποιοῦνται γιὰ τοὺς ἀριθμοὺς εἶναι τὰ γράμματα τῆς ἑλληνικῆς ἀλφαβήτου, ἀλλὰ οἱ ὑπολογισμοὶ γίνονται μὲ τὴ νέα τότε δεκαδικὴ ἀραβικὴ ἀρίθμηση. Ὁ συγγραφέας δείχνει νὰ μὴν ἔχει προσαρμοστεῖ στὴ νέα μέθοδο καὶ χρησιμοποιεῖ γιὰ τὸ μηδὲν ἕνα σύμβολο, τὸ ὁποῖο μοιάζει μὲ ἀντεστραμμένο h (ч)[1]. Πρέπει ὅμως νὰ τονιστεῖ, ὅτι ἡ χρησιμοποίηση γραμμάτων καὶ ὄχι ἀριθμῶν δὲν ἐπιρρέαζε τὸ  ἀποτέλεσμα, ἀφοῦ ἐπρόκειτο γιὰ ἀριθμητικὸ σύστημα θέσης, δηλαδὴ

The Historical background on the definition of π

Από το βιβλίο-Πηγή: Μαρία Χάλκου, Το Μαθηματικό Περιεχόμενο του Codex vindobonensis phil. gr. 65 of the 15th cent., Εισαγωγή, Έκδοση και Σχόλια, εκδ. ΚΒΕ του Αριστοτέλειου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης, Θεσσαλονίκη 2006, σελ. 49, 50.

Στὰ πρῶτα κεφάλαια τῆς 11ης ἑνότητας τοῦ βιβλίου (κεφ. 167- 184) ὁ συγγραφέας ὁρίζει τὸν ἀριθμὸ π ὡς τὸν λόγο τῆς περιμέτρου δοθείσης περιφέρειας πρὸς τὴ διάμετρό της, καὶ θεωρεῖ ὅτι αὐτὸς ὁ λόγος ἰσοῦται πρὸς 22/7, ἢ 3 1/7. 

Αὐτὴ ἡ προσέγγιση ἦταν παραδεκτὴ ἀπὸ τὸν ἴδιο τὸν Ἀρχιμήδη, ἐφόσον

A little history about the fractions according to the codex vindobonensis phil. gr. 65 of the 15th century (ff. 11r-126r)

Source: Μαρία Χάλκου, Το Μαθηματικό Περιεχόμενο του Codex vindobonensis phil. gr. 65 του 15ου αι. Εισαγωγή, Έκδοση και Σχόλια, εκδ. ΚΒΕ του ΑΠΘ, Θεσσαλονίκη 2006, σελ. 30, 31

  THE THIRD EDITION (2014) AS AN EBOOK with title: Ta Vyzantina Mathematika, The Codex Vindobonensis phil. gr. 65 of the 15th cent. vol. I (Arithmetike-Algevra-Logistike)

[  Στὴ δεύτερη ἑνότητα (κεφ. 40-56) διαπιστώνουμε ὅτι ὁ τρόπος ὁρισμοῦ τοῦ κλάσματος (τζάκισμα), προϋποθέτει ὁ ἀριθμητὴς νὰ εἶναι μικρότερος ἀπὸ τὸν παρανομαστή. Ὁ ὁρισμὸς τοῦ κλάσματος ἀργότερα ἐπεκτείνεται καὶ ἐμφανίζονται κλάσματα μὲ ἀριθμητὲς μεγαλύτερους ἀπὸ τοὺς παρανομαστές (φ. 62r, στ. 1- 5, φ.  76r, κεφ. 135). Τὸ ἀξιοπερίεργο εἶναι ὅτι στὴν Ἀριθμητικὴ τοῦ  Pagani (1591 μ.Χ.) ὁ ἀριθμητὴς εἶναι μικρότερος ἀπὸ τὸν παρανομαστὴ ἐνῶ τὸ ἀντίθετο θεωρεῖται μεταγενέστερη ἀνακάλυψη!!![1]

College de France: Commandes de livres (2012-13)

a la 3eme page: Chalkou Maria, Ta mathematika sto Vyzantio (1), Ta provlemata tes geometrias sto Vyzantio (2nd edition in 2007)

Υλικό από τους Σχολικούς Συμβούλους Μαθηματικών

Υλικό από τους Σχολικούς Συμβούλους Μαθηματικών

The Byzantines and the 'Number Theory' according to the Codex Vindobonensis phil. gr. 65 (Original proof by M. Chalkou- Doctoral Theses in 2003)

 

SOURCE: MARIA CHALKOU, THE MATHEMATICAL CONTENT OF THE CODEX VINDOBONENSIS PHIL. GR. 65 OF THE 15TH CENT. INTRODUCTION, EDITION AND COMMENTS, PUB. BYZANTINE RESEARCH CENTER, ARISTOTELEAN UNIVERSITY OF THESSALONIKI, JUNE 2006.

  Οἱ γνώσεις τῶν Βυζαντινῶν

Γιὰ τὴν δοκιμὴ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ 15.6= 90 ὁ Ἕλληνας συγγραφέας τοῦ 15ου αἰ. προτείνει:
"Ἄφελε τὰ 15 ὁσάκις χωρῶσι ἐπὶ τῶν 7· δὶς οὖν 7 γίνονται 14, περιττεύει 1 μέχρι τῶν 15......" Αὐτὸ σημαίνει ὅτι ζητεῖ τὸ ὑπόλοιπο τῆς διαίρεσης τοῦ 15 μὲ τὸ 7, τὸ ὁποῖο εἶναι 1. Ἐπειδὴ δὲ τὸ ὑπόλοιπο τῆς διαίρεσης τοῦ 6 μὲ τὸ 7 εἶναι 6, πολλαπλασιάζει τὸ 1 μὲ τὸ 6 καὶ θέτει τὸ ἐξαγόμενο ἐντὸς κύκλου.

Μαθηματική μέθοδος, ή μέθοδος αύξησης κέρδους;

Από τα σχόλια επί του κεφαλαίου 236. Βλ. σε ΠΗΓΗ: Μαρία Χάλκου, Το Μαθηματικό Περιεχόμενο του Codex Vindobonensis phil. gr. 65 of the 15th cent. (ff. 11r-126r), Εισαγωγή, Έκδοση και Σχόλια, εκδ. ΚΒΕ του Αριστοτέλειου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης, Θεσσαλονίκη 2006, σελ. 53, 54, 490


ΔΙΑΒΑΣΤΕ ΕΔΩ

THE THIRD EDITION (2014) AS AN EBOOK with title: Ta Vyzantina Mathematika, The Codex Vindobonensis phil. gr. 65 of the 15th cent. vol. II (Geometria-Geodaisia)

 

Για την αγάπη των μαθηματικών: διπλωματικές εργασίες \ ιστορία μαθηματικών

για την αγάπη των μαθηματικών: διπλωματικές εργασίες \ ιστορία μαθηματικών: Στην σελίδα αυτή θα συγκεντρώνω αρχεία   (άρθρα και διπλωματικές)   σχετικά με την Ιστορία των Μαθηματικών .  Η ταξινόμηση γίνεται με...

e-Book CONIC SECTIONS: INTRODUCTION, THEORY-THE 4TH DEFINITION, APPLICATIONS SUITABLE FOR THE TEACHING
PREFACE: PROFESSOR IOANNIS L. ARACHOVITIS, NATIONAL AND KAPODISTRIAN UNIVERSITY OF ATHENS, DEPT. OF MATHEMATICS